Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 1

" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 1 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 1 FOURTH INTERNATIONAL COMPETITION FOR UNIVERSITY STUDENTS IN MATHEMATICS July 30 – August 4, 1997, Plovdiv, BULGARIA First day — August 1, 1997 Problems and Solutions Problem 1. Let {εn }∞ be a sequence of positive real numbers, such that lim εn = n=1 n→∞0. Find n 1 k lim ln + εn , n→∞ n k=1 nwhere ln denotes the natural logarithm. Solution. It is well known that 1 1 n k −1 = ln xdx = lim ln 0 n→∞ n n k=1(Riemman’s sums). Then 1 n k 1 n k ln + εn ≥ ln −→ −1. n k=1 n n k=1 n n→∞Given ε > 0 there exist n0 such that 0 < εn ≤ ε for all n ≥ n0 . Then 1 n k 1 n k ln + εn ≤ ln +ε . n k=1 n n k=1 nSince 1 n k 1 lim ln +ε = ln(x + ε)dx n→∞ n n 0 k=1 1+ε = ln xdx ε 1we obtain the result when ε goes to 0 and so 1 n k lim ln + εn = −1. n→∞ n n k=1 Problem∞2. Suppose an converges. Do the following sums have to converge as n=1well? a) a1 + a2 + a4 + a3 + a8 + a7 + a6 + a5 + a16 + a15 + · · · + a9 + a32 + · · · b) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a7 + a6 + a8 + a9 + a11 + a13 + a15 + a10 +a12 + a14 + a16 + a17 + a19 + · · · Justify your answers. Solution. ∞ n a) Yes. Let S = an , S n = ak . Fix ε > 0 and a number n0 such n=1 k=1that |Sn − S| < ε for n > n0 . The partial sums of the permuted series havethe form L2n−1 +k = S2n−1 + S2n − S2n −k , 0 ≤ k < 2n−1 and for 2n−1 > n0 wehave |L2n−1 +k − S| < 3ε, i.e. the permuted series converges. (−1)n+1 2n−1 −1 1 b) No. Take an = √ .Then L3.2n−2 = S2n−1 + √ n k=2n−2 2k + 1 1and L3.2n−2 − S2n−1 ≥ 2n−2 √ n −→ ∞, so L3.2n−2 −→ ∞. 2 n→∞ n→∞ Problem 3. Let A and B be real n×n matrices such that A 2 +B 2 =AB. Prove thatif BA − AB is an invertible matrix then n is divisible by 3. Solution. √ 1 3 Set S = A + ωB, where ω = − + i . We have 2 2 SS = (A + ωB)(A + ωB) = A2 + ωBA + ωAB + B 2 = AB + ωBA + ωAB = ω(BA − AB),because ω + 1 = −ω. Since det(SS) = det S. det S is a real number anddet ω(BA − AB) = ω n det(BA − AB) and det(BA − AB) = 0, then ω n is areal number. This is possible only when n is divisible by 3. 2 Problem 4. Let α be a real number, 1 < α < 2. a) Show that α has a unique representation as an infinite product 1 1 α= 1+ 1+ ... n1 n2where each ni is a positive integer satisfying n2 ≤ ni+1 . i b) Show that α is rational if and only if its infinite product has thefollowing property: For some m and all k ≥ m, nk+1 = n2 . k Solution. a) We construct inductively the sequence {n i } and the ratios α θk = k 1 1 (1 + ni )so that ...