ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ 15 MÔN GIẢI TÍCH

Môn: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Tính tích phân2πI=∫ ln ( sin x +01 + sin 2 x ) dx câu 2 Cho dãy số {x n } được xác định như sau x0 =
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ 15 MÔN GIẢI TÍCHHỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ 15 Môn: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phútCâu 1 Tính tích phân 2π ∫ ln ( sin x + I= 1 + sin 2 x ) dx 0Câu 2 Cho dãy số {x n } được xác định như sau ⎛ x + x1 + ... + x n −1 ⎞ ⎟ , ∀n ≥ 1 x0 = 2007, x n = −2007⎜ 0 ⎝ ⎠ nTìm hệ thức liên hệ giữa x n và xn −1 , n ≥ 1 . Từ đó, tính tổng S = x0 + 2 x1 + 4 x 2 + ... + 2 2007 x 2007Câu 3 Tìm tất cả các hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện ⎛ x +1⎞ 3 , ∀x ≠ 1 ⎟ = 2 f ( x) + f⎜ x −1 ⎝ x −1⎠Câu 4 Cho a, b, c, α là các số thực ( α ≠ c − b ). Dãy số {u n } và {vn } được xác địnhbởi công thức u n + bu n 2 n uk , vn = ∑ u1 = a, u n +1 = , ∀n ≥ 1 k =1 u k +1 + b − c cBiết rằng lim u n = α . Tính giới hạn lim v n . n → +∞ n → +∞Câu 5 Cho hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm trên [0,+∞ ] . Biết rằng tồn tại giớihạn lim [ f ( x ) + f ( x )] = 1 x → +∞Tính lim f ( x ). x → +∞ Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai f ( x) = x 2 + bx + c (b, c ∈ R ) cóCâu 6nghiệm thực thì có ít nhất một nguyên hàm của nó là đa thức bậc ba có các nghiệmđều thực. _______________________ Typed by Duong Duc Lam