Đề thi Olympic Toán sinh viên 2006

Tài liệu tham khảo Đề thi Olympic Toán sinh viên 2006 sẽ giúp bạn thực hành giải các bài toán, phát triển kĩ năng giải bài tập tự luận, đồng thời ôn tập lại những kiến thức để chuẩn bị tốt cho kì thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán sinh viên 2006H I TOÁN TRUY N TH NG NĂM 2006 Đ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi: Gi i tíchTh i gian làm bài: 180’Câu 1: V i m i n ∈ N, cho un =4n n4 +2n2 +9 .Đ tSn = u1 + u2 + ... + un . Tìm lim Sn .n→∞Câu 2: Cho f là m t hàm có đ o hàm liên t c đ n c p 2 trên (a, b). Gi s có M > 0 đ |f (x)| ≤ M v i m i x ∈ (a, b). Ch ng minh r ng f là liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Cho f : − π , π → (−1, 1) là m t hàm s kh vi, f không âm và liên t c. 2 2 Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ − π , π sao cho 2 2 (f (x0 ))2 + (f (x0 ))2 < 1. Câu 4: Cho hàm f liên t c trên R th a mãn f (0) = 0 và |f (x) − f (y)| ≤ | sin x − sin y|, x, y ∈ R. Ch ng minh r ngπ 2f (x)2 − f (x) dx ≤0π + 1. 4Tìm t t c các hàm f đ đ ng th c x y ra. Câu 5: Cho hàm f kh vi đ n c p 2 trên [a, b] và f (a) = f (b) = 0. Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (a, b) sao cho 4 |f (c)| ≥ |f (b) − f (a)|. (b − a)21ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có un = 1 1 1 1 − 2 = − , n ∈ N. n2 − 2n + 3 n + 2n + 3 (n − 1)2 + 2 (n + 1)2 + 21 x2 +2Đ t ϕ(x) =thì un = ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1). Do đó v i n ≥ 2,Sn = ϕ(0) − ϕ(2) + ϕ(1) − ϕ(3) + ... + ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1) = ϕ(0) + ϕ(1) − ϕ(n + 1) − ϕ(n) 1 1 1 1 = + − − 2 . 2 3 (n + 1)2 + 2 n + 2 T đó ta có lim Sn = 5 . 6n→∞Câu 2: C đ nh x0 ∈ (a, b). Theo đ nh lý Lagrange, v i m i x ∈ (a, b) {x0 } t n t i cx ∈ (a, b) sao cho f (x) − f (x0 ) = f (cx)(x − x0 ). Do đó |f (x)| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 )| ≤ M |x − x0 | + |f (x0 )| ≤ M (b − a) + |f (x0 )|. Đ t K = M (b − a) + |f (x0 )| > 0, ta có |f (x)| ≤ K v i m i x ∈ (a, b). Lúc đó v i x, x ∈ (a, b), d th y |f (x) − f (x )| ≤ K|x − x |. V i ε > 0 tùy ý cho trư c, ch n δ = V y f liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Xét hàm s g(x) = arcsin(f (x)). Khi đó g : − π , π → − π , π liên t c trên 2 2 2 2 − π , π , kh vi trên − π , π . Theo đ nh lý Largange, t n t i x0 ∈ − π , π sao 2 2 2 2 2 2 cho π π g( ) − g(− ) = 2 2 f (x0 ) .π. 1 − (f (x0 ))2ε . KN u |x − x | < δ thì |f (x) − f (x )| < ε.Theo gi thi t, v trái không âm và v ph i nh hơn π. Vì v y 0≤ f (x0 ) < 1. 1 − (f (x0 ))22T đây d dàng nh n đư c (f (x0 ))2 + (f (x0 ))2 < 1. Câu 4: V i m i x ∈ R, ta có |f (x)| = |f (x) − f (0)| ≤ | sin x − sin 0| = | sin x| và |f (x)2 − f (x)| = |f (x)||f (x) − 1| ≤ | sin x|(| sin x| + 1). V yπ 2 π 2f (x)2 − f (x) dx ≤0 0sin x(sin x + 1) =π + 1. 4Đ ng th c x y ra khi và ch khi f liên t c trên R và v i m i x ∈ [0, π ], 2 |f (x)| = sin x và |f (x)−1| = sin x+1, t c là f liên t c trên R và f (x) = − sin x trên [0, π ]. 2 Câu 5: Áp d ng khai tri n Taylor c a hàm f đ n c p 2 t i a và b ta có: f và f a+b 2 f (x2 ) = f (b) + 2! . Do đó 1 . |f (x2 ) − f (x1 )| ≤ 2 b−a 22a+b 2f (x1 ) = f (a) + 2!b−a 2 b−a 222,v i x1 ∈ a, a+b và x2 ∈ 2 |f (b) − f (a)| =a+b ,b 2 2b−a 2|f (c)|,trong đó |f (c)| = max{|f (x1 )|, |f (x2 )|} (c = x1 ho c c = x2 ). V y t n t i c ∈ (a, b) sao cho |f (c)| ≥ 4 |f (b) − f (a)|. (b − a)23