Hệ phương trình sinh từ đa thức

Đây là một báo cáo tổng quan về một chủ đề mà chúng tôi đã từng sử dụng trong quá trình ôn luyện cho đội tuyển Olympic Toán học của Trường Đại học Thủy lợi tham dự các kỳ thi Quốc gia. Từ quá trình dạy học, chúng tôi đúc kết thành một báo cáo mang tính tổng quan để có thể áp dụng và phát triển tiếp trong những năm tiếp theo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hệ phương trình sinh từ đa thức Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SINH TỪ ĐA THỨC Nguyễn Thị Lý1, Nguyễn Hữu Thọ1 1 Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Hệ quả 1.3 Đây là một báo cáo tổng quan về một chủ 1) Một đa thức có vô số nghiệm thì đó là đề mà chúng tôi đã từng sử dụng trong quá đa thức bậc không. trình ôn luyện cho đội tuyển Olympic Toán 2) Nếu deg P( x )  n và có n  1 giá trị học của Trường Đại học Thủy lợi tham dự phân biệt 1,...,n1 mà P( i )  C thì P( x )  C . các kỳ thi Quốc gia. Từ quá trình dạy học, 3) Nếu hai đa thức bậc n mà chúng bằng chúng tôi đúc kết thành một báo cáo mang nhau tại n  1 giá trị khác nhau của đối số thì tính tổng quan để có thể áp dụng và phát chúng đồng nhất bằng nhau. triển tiếp trong những năm tiếp theo. Các ví Định lý 1.4 (Định lý Vi-et)([2]) Giả sử dụ trong báo cáo này hầu hết được lấy từ phương trình a0  a1x  a2 x 2    an x n  0 các bài tập (chưa có lời giải) hoặc đề thi (với ..) có n nghiệm x1 ,x2 ,...,xn , khi đó: Olympic Toán cho sinh viên trong tài liệu  1 an 1 tham khảo, cách giải được trình bày theo  E1( x )  x1  x2    xn  ( 1 ) a chủ đề mà chúng tôi quan tâm và hầu hết  n khác với cách giải có trong tài liệu tham  2 an 2  E2 ( x )  x1x2  x1x3    xn1xn  ( 1 ) khảo tương ứng.  an .... 2. NỘI DUNG BÁO CÁO   n a0 2.1. Một số tổng quan lý thuyết  En ( x )  x1x2 ...xn  ( 1 ) a .  n Định nghĩa 1.1([1]) Biểu thức 2.2. Hệ phương trình sinh từ đa thức P( x )  a0  a1x  a2 x 2    an x n ( an  0 ) gọi là đa thức bậc n . Xét hệ phương trình: Ký hiệu bậc: deg P( x )  n .  F( x1 ,x2 ,...,xn ;a1 )  b a0 : hệ số tự do,  F( x ,x ,...,x ;a )  b  1 2 n 2 an : hệ số chính hoặc hệ số bậc cao nhất.  , .......... Khi các hệ số a0 ,a1 ,a2 ,...,an và x là các  F( x1 ,x2 ,...,xn ;an )  b số thực thì P( x ) gọi là đa thức thực. Báo với n ẩn x1 ,x2 ,...,xn . cáo này chỉ quan tâm tới đa thức thực. Nếu P(  )  0 thì x   là nghiệm của đa Giả sử hệ có nghiệm  x1 ,x2 ,...,xn  , khi đó thức P( x ) . suy ra phương trình F( x1 ,x2 ,...,t )  b Sau đây là một số định lý và hệ quả về nghiệm đúng với các giá trị t  a1 ,a2 ,...,an . nghiệm của đa thức. Định lý: Cho đa thức Định lý 1.2 ([1]) Mỗi đa thức bậc n có P( t )  b  x1t  x2t 2    xnt n không quá n nghiệm thực. 105 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 có deg P( t )  n Khi đó:  a3 x1  a 2 x2  ax3  x4  a 4 1) Nếu P(t) có n + 1 nghiệm thực a0, a1,  3 b x1  b 2 x2  bx3  x4  b 4 …, an, thì các hệ số của tk bằng 0, k = 0, 1,  3 . 2 4 …, n); tức là: c x1  c x2  cx3  x4  c b  x1  x2    xn  0 .  3 2 4  d x1  d x2  dx3  x4  d 2) Nếu P(t) có n nghiệm thực a1 ,...., an Giải: Xét đa thức: thì các hệ số của tk có thể được tính theo Định P( t )  t 4  x1t 3  x2t 2  x3t  x4 lý Viet:  có deg P  4 . Từ hệ ta có 1 xn 1  a1  a2    an  ( 1 ) x P( a )  P( b )  P( c )  P( d )  0 , suy ra  n P (t ) có 4 nghiệm phân biệt nên có thể phân  2 xn 2  a1a2  a1a3    an1an  ( 1 ) tích thành dạng  xn . P( t )  ( t  a )( t  b )( t  c )( t  d ) ....   t 4  A1t 3  A2t 2  A3t  A4  n b  a1a2 ...an  ( 1 ) x Theo Định lý Viét: ...