Đề thi OLYMPIC Toán sinh viên lần thứ XIV(2011)Môn đại số

Đây là đề thi toán olympic giúp các bạn sinh viên tham khảo để thử sức trình độ giải toán của mình củng như là một tài liệu quan trọng giúp các bạn rèn luyện kỹ năng phát huy môn học toán nói chung, và niềm đam mê toán học của mình nói riêng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi OLYMPIC Toán sinh viên lần thứ XIV(2011)Môn đại số H OI T oAN H QC VI~T N AM HE T HI O LYMPIC T oAN S INH V IEN L AN T HU X IV ( 2011) M on: D.A-I s 6C all 1. C hung m inh r ang h$ { eX, eX 2 , ex, . .. , eX n} dQc I~p t uyen t lnh t rong k hong , 3g ian cac h am s6 dUdng.C all 2 . Cho day s6 (xn), (Yn), (zn) thOa man: Xo = Yo = Zo va: Xn+l = 4 xn - Yn - 5zn Yn+l = 2 x n - 2zn Zn+l = Xn - 2znT fnh X 2011.C all 3 . C ho h ai rna tr~n A v a B cling d ip n v a r na tr~n e = A B - BA giaoh oan voi ca h ai rna tr~n A v a B . C hung m inh d ing t 6n t1?oi s6 n guyen dUdng msao cho em = o.C all 4 . C ho d a t huc P (x) co b~c n v a co n nghi$m th)c (co thEl p han bi$t hoi;LcbQi). T Im di§u ki$n c§,n v a d u c ua u v a v dEl d a t huc s au cling co n nghi$m th)c: + uP (x) + vpl/(x). P(X)C all 5 . Co h ai b1?on A v a B chdi mQt t ro chdi n hu sau:T ren mQt b ang 0 v uong n x n , A di§n VaG 0 d vi t rf (i, j) mQt s6 n guyen dUdngnao do. B1?on B co thEl g iu n guyen s6 do hoi;Lc t ang, giam s6 do 1 d dn vi. B khl1ngd inh d ing co thEl l am cho rna tr~n n Mn dUQc k ha n ghich v a k hong co diElm biitdQng (tUc l a t 6n t1?oi v ector v sao cho A v = v) . Hoi B n Mn d inh d ung h ay sai? VIsao?C all 6. M s au a) T Im di§u ki$n dEl co nghi$m d uy nhiit: (1 + a )xl + (1 + a2)x2 + (1 + a3)x3 + (1 + a4)x4 0 = (1 + b)Xl + (1 + b2)X2 + (1 + b3)X3 + (1 + b4)X4 0 = 2 3 4 (1 + C )Xl + (1 + C )X2 + (1 + C )X3 + (1 + C )X4 0 = (1 + d)Xl + (1 + d2)X2 + (1 + d3)X3 + (1 + d4)X4 0 = b) C ho rna tr~n A [11 -11]. = T fnh A 2012 * * * W WW.VNMATH.COM*** 1 H OI T oAN H QC VI~T N AM HE T HI O LYMPIC T oAN S INH V IEN L AN T HU X IV ( 2011) M on: G IAI T ICH (x~xl)2C all 1. Cho h am s6 f (x) = x co nghi$m d uy nhiit t ren [~, I] v a h am f (x) d6ng (i) C hung m inh P T f (x) = bi§n.(ii) C hung m inh day (un) voi Ul I ,U n+l f (u n) co cac p Mn t u d§u thuQc = = d on [~, I].C all 2. T fnh tfch phan: J+ 1 J- dx 2 + vi x4 + 3 x2 + 1 x+x 1 -1 Vx~ty~, mQi ynC all 3. Cho hai day s6 (x n ), (Yn) t Ma man: Xn+l ;:;> , Yn+l ;:;> x nts6 t v nhien n. + Yn, Xn-Yn (i) C hung m inh d ing cac day Xn t ang.(ii) N§u cho t ruoc hai day (xn), (Yn) bi cMn. Chung m inh hai day nay cling hQi t1J v§ mQt di§m.C all 4. Cho et, (3 t Ma m an biit d11ng thuc: (1 + t)n+a < e < (1 + t)n+ i3 , mQi nnguyen dUdng. TIm m in c ua Jet - (3J.C all 5. D on [m, n] l a d on t 6t n§u Ung voi a, b, c l a cac s6 t hvc t Ma m an2a + 3b + 6c = 0 t hl P T ax2 + bx + c = 0 co nghi$m thuQc [m, n]. T Im d on t 6tco dQ dai n M nhiit.C all 6. (i) T Im tiit ca cac h am s6 f (x) t Ma man: (x - y)f(x + y) - (x + y )f(x - y) = 4 xy(x 2 - y2), mQi x , y.(ii) Cho h am s6 f (x) k ha vi t rong d on [ -1, I] va: x f(x) + ~f(~)