Đề thi Olympic Toán sinh viên quốc tế năm 2011

Bài 1. Cho là một hàm số liên tục. Một điểm được gọi là điểm đen nếu tồn tại với sao cho . Cho là các số thực sao cho • Tất cả các điểm thuộc khoảng là điểm đen. • không phải là điểm đen. Chứng minh rằng - Các phương pháp tính tích phân bất định. - Tích phân các hàm hữu tỷ, vô tỷ, hàm lượng giác. - Hàm khả tính và tích phân xác định. - Các phương pháp tính tích phân xác định. - Tích phân có cận thay đổi. - Định lý về...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán sinh viên quốc tế năm 2011 Đề thi Olympic Toán sinh viên quốc tế năm 2011Bài 1. Cho là một hàm số liên tục. Một điểm được gọi là điểm đennếu tồn tại với sao cho . Cho là các số thực saocho• Tất cả các điểm thuộc khoảng là điểm đen.• không phải là điểm đen.Chứng minh rằng• a. ;• b. .Problem 1. Let be a continuous function. A point is called ashadow point if there is a point with such that .Let be real numbers and suppose that• all points in are shadow points;• are not shadow points.Prove that• a) ;• b) .Bài 2. Tồn tại hay không một ma trận thực cấp sao cho và ?Problem 2. Does there exist a real matrix such that and ?Bài 3. Cho là một số nguyên tố. Ta gọi số nguyên là tốtnếu với .• a) Chứng minh rằng số là tốt.• b) Tìm sao cho là số tốt nhỏ nhất.Problem 3. Let be a prime number. Call a positive integer interesting if for some polynomials .• a) Prove that the number is interesting.• b) For which is the minimal interesting number?Bài 4. Cho là những tập hợp hữu hạn khác rỗng. Ta xác địnhChứng minh rằng là không giảm trên .Problem 4. Let be finite, nonempty sets. Define the functionProve that is nondecreasing on .Bài 5. Cho là số nguyên dương và là một không gian vectơ -chiềutrên trường chỉ có hai phần tử. Chứng minh rằng với mọivecto , luôn tồn tại một dãy saocho .Problem 5. Let be a positive integer and let be a -dimensionalvector space over the field with two elements. Prove that for arbitraryvectors , there exists a sequence of indices such that .ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 20121. Dãy số :- Dãy hội tụ, dãy đơn điệu, dãy bị chặn. Giới hạn vô cùng- Các tính chất và các phép toán về dãy hội tụ.- Tìm giới hạn của các dãy số.- Phương trình và bất phương trình sai phân2. Hàm số:- Định nghĩa hàm số, miền xác định, miền giá trị, hàm đơn điệu, hàm bị chặn, hàmtuần hoàn, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm ngược.- Giới hạn hàm số.- Sự liên tục của hàm số, các tính chất của hàm liên tục.- Phương trình hàm, bất phương trình hàm.3. Phép tính vi phân hàm một biến:- Định nghĩa đạo hàm, hàm khả vi và các phép toán về đạo hàm.- Các định lý: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, L’Hospital.- Công thức Taylor, Maclaurin của hàm số.- Cực trị, GTLN, GTNN của hàm số.- Phương trình hàm trên lớp hàm khả vi.4. Phép tính tích phân hàm một biến.- Nguyên hàm và tích phân bất định.- Các phương pháp tính tích phân bất định.- Tích phân các hàm hữu tỷ, vô tỷ, hàm lượng giác.- Hàm khả tính và tích phân xác định.- Các phương pháp tính tích phân xác định.- Tích phân có cận thay đổi.- Định lý về giá trị trung bình của tích phân.- Bất đẳng thức tích phân.