Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc 2012 - Trường đại học Phú Yên

Kì thi Olympic Toán Sinh viên 2012Thi ngày: 11/04/2012Câu 2. Một ma trận vuông A được gọi là lũy linh nếu tồn tại k0 để A k =0 .a) Chứng tỏ rằng ma trận tam giác trên có đường chéo chính toàn 0 là ma trận lũy linh và các ma trận này lập thành một không gian con V 0 của không gian M n (R) các ma trận vuông cấp n trên trường số thực.Tính dimV 0 .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc 2012 - Trường đại học Phú YênTypesetting math: 95% Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc 2012Toán cao cấp BIÊN TẬPTác giả: BANThứ tư, 11 Tháng 4 2012 13:17 Kì thi Olympic Toán Sinh viên 2012 Thi ngày: 11/04/2012 Thời gian làm bài: 180 phút. MÔN ĐẠI SỐCâu 1. Giải hệ phương trình tuyến tính.⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =2(4x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 ) x 2 =3(x 1 +4x 2 +3x 3 +2x 4 ) x 3 =4(2x 1 +x 2 +4x 3 +3x 4 ) x 4 =5(3x A k>0 Một trận được gọi lũy nếu tồn tạiCâu 2. ma vuông là linha) Chứng tỏ rằng ma trận tam giác trên có đường chéo chính toàn 0 là ma trận lũy linh và các ma trận này lập thành một khôngkhông gian M n (R) các ma trận vuông cấp n trên trường số thực.Tính dimV 0 .b) Giả sử V là một không gian con nào đó của M n (R) mà các phần tử của nó đều là ma trận lũy linh.Chứng minh rằng dimCâu 3. Cho A là ma trận vuông cấp n≥2 có các phần tử là các số chính phương lẻ. Chứng minh rằng det(A) chia hết cCâu 4. Cho A,B∈M 100 (R) là hai ma trận thỏa mãn A 101 =0 và AB=2A+3B .Chứng minh rằng (A+B) 100 =0 .Câu 5. Chứng minh rằng các hàm số: sinx,sin2 x,sin3x,sin|x−π|,sin|x−2π|,sin| x−3π| độc lập tuyến tính trong không gian các hàm liên tục C(−∞,+∞) trên trường số thực.CâuThí sinh chọn một trong hai câu sau:6a. Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên và a 0 là số nguyên cho trước.Với mọi số nguyên dương k ,đặt a k+1 =P(a ktồn tại số m để hoặc $|a_m| 6a. Cho hàm số f(x)f(x) khả vi liên tục hai lần trên mathbb{R}R . Giả sử fleft( 1 ight) = 0f(1)=0 và intlimits_0^ . Chứng minh rằng với mọi alpha in left( {0,1} ight)α ∈(0,1) ∫ 0 1 f(x)dx=0 , ta có left| {intlimits_0^alpha {fleft( x ight)dx} } ight| leqslant frac{2}{{81}}mathop {max }limits_{0 leqslant x leqslant 1} left| {fleft( x ∣ ∣ ∣ ∣ ∫ 0 α f(x)dx∣ ∣ ∣ ∣ ⩽2 81 max 0⩽x⩽1 ∣ ∣ f ′′ (x)∣ ∣ là hàm lõm (hay còn gọi là lồi lên phía trên), khả vi liên tục thỏa mãn fleft( 0 ight) 6b. Cho f:left[ {0,1} ight] o mathbb{R} Chứng minh rằng sqrt {1 + 4mathop {max }limits_{0 leqslant x leqslant 1} {f^2}left( x ight)} leqslant intlimits_0^1 {sqrt {1 + {{left( {fleft( x ight)} 1 + 2mathop {max }limits_{0 leqslant x leqslant 1} fleft( x ight) BBT xin trân trọng cảm ơn bạn Nguyễn Sanh Thành đã gửi cho chúng tôi đề thi này. Mời các bạn thảo http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=70988& Tweet Share Copyright © Diễn đàn Toán học Những bài viết khác của cùng tác giả Ban Biên Tập• Học như thế nào? (16 Tháng 3 2013)• Đề thi HSG lớp 12 TP. Hồ Chí Minh năm học 2012 ... (14 Tháng 3 2013)• Rất sai lầm nếu chương trình học quá dễ (13 Tháng 3 2013)• Đề thi HSG lớp 11 TP Đà Nẵng năm học 2012 - 2013 (12 Tháng 3 2013)• Giải thưởng Fields, những điều chưa biết (09 Tháng 3 2013) 