Đề thi số 1 môn toán cao cấp A1

Tài liệu tham khảo Đề thi môn toán cao cấp A1 kèm các phương pháp giải khác nhau
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi số 1 môn toán cao cấp A1 Đề 1 Câu 1: Py ' = (e x + 3 y + 1) y ' = 3 Px ' = (3 y − y 3 ) x ' = 3 ⇒ Py ' = Px ' ⇒ pt vi phân toàn phần Nghiệm tổng quát: u ( x, y ) = C y x u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q( x, y ) dy 0 0 y x = ∫ (e + 3 y + 1)dx + ∫ − y 3 dy x 0 0 y y4 = ( e + (3 y + 1) x ) − x x 4 0 0 4 y = e x + (3 y + 1) x − 1 − 4 y4 Kết luận:nghiệm của pt là e + (3 y + 1) x − 1 − =C x 4 Câu 2: * Cách 1: Khử x2 từ hệ x2 '− 4 x1 ' = −10 x1 + t − 4et (*) Đạo hàm 2 vế pt (1) x1 = 3 x1 '+ x2 '+ et ⇒ x2 ' = x1 − 3x1 '− et Thế vào (*) (*) ⇔ x1 − 7 x1 '+ 10 x1 = t − 3e t pt đặc trưng : k − 7 k + 10 = 0 ⇒ k = 2 ∨ k = 5 2 ⇒ x1(0) = C1.e 2t + C2 .e5t x1( r ) = x1( r1 ) + x1( r2 ) x1( r1 ) là nghiệm của pt x1 − 7 x1 '+ 10 x1 = t (1) ⇒ x1( r1 ) = t S .e0t . ( At + B ) α = 0 không là nghiệm pt đặc trưng ⇒ S = 0 ⇒ x1( r ) = At + B ⇒ x1( r ) ' = A ⇒ x1( r ) = 0  1  A = 10  10 A = 1  (1) ⇔  ⇔  −7 A + 10 B = 0 B = 7   100 1 7 ⇒ x1( r1 ) = t + 10 100 x1( r2 ) là nghiệm của pt x1 − 7 x1 '+ 10 x1 = −3et (2) ⇒ x1( r2 ) = t S .et . A α = 1 không là nghiệm pt đặc trưng ⇒ S = 0 ⇒ x1( r ) = A.et ⇒ x1( r ) ' = A.et ⇒ x1( r ) = A.et 3 (2) ⇔ A = − 4 3 ⇒ x1( r2 ) = − et 4 1 7 3t x1( r ) = x1( r1 ) + x1( r2 ) = t+ −e 10 100 4 1 7 3t x1 = x1( 0) + x1( r ) = C1.e 2t + C2 .e5t + t + −e 10 100 4 Thay vào pt (1) của hệ ⇒ x2 = x1 '− 3 x1 − et  13  7 3 t 1 =  2C1.e 2t + 5C2 .e5t + − et  − 3  C1.e 2t + C2 .e5t + t + − e  − tet  10 4   10 100 4  3 3 1 = −C1e5t + 2C2 e 2t − tet + et − t + 2 10 10 Kết luận:  1 7 3t  x1 = C1.e + C2 .e + 10 t + 100 − 4 e 2t 5t    x = −C e5t + 2C e 2t − tet + 3 et − 3 t + 1 2 1 2  2 10 10 * Cách 2:  3 1 A=   2 4 3−λ 1 A − λI = 0 ⇔ =0 4−λ 2 ⇔ (3 − λ )(4 − λ ) − 2 = 0 ⇔ λ 2 − 7λ + 10 = 0 λ = 2 ⇔ λ = 5 α   1 1   x1  λ = 2:  2 2   x  = 0 ⇔ X =  −α    2   1 Chọn vectơ riêng là X =   1 α   −2 1   x1  λ = 5:  x  = 0 ⇔ X =     2α   2 −1   2  1 Chọn vectơ riêng là X =   2 1 1  ⇒ P=  1 2   2 −1  ⇒ P −1 =    −1 1   2 0 D=   0 5 Hệ ⇔ X ' = P.D.P −1. X + F ⇔ P −1 X ' = P.D.P −1. X + F Đặt Y = P −1. X ⇔ Y ' = D.Y + P −1.F  y '   2 0   y1   2 −1  et  ⇔ 1 =   +     y 2 '   0 5   y 2   −1 1   t   y1 ' = 2 y1 + ( 2et − t )  ⇔  y2 ' = 5 y2 + ( −e + t ) t   y1 = e ∫  ∫ ( 2et − t ) .e ∫ dt + C1  − 2 dt 2 dt       ⇔  y = e ∫ 5 dt  ( −et + t ) .e − ∫ 5 dt dt + C  ∫ 1 2 ...