Đề thi tuyển sinh sau đại học môn Giải tích

Mời các bạn tham khảo Đề thi tuyển sinh sau đại học môn Giải tích năm 2005, 2007, 2008 và 2009 để phục vụ cho việc nghiên cứu, học tập, có thêm kiến thức và làm quen với dạng đề trước khi thi bước vào kì thi cao học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh sau đại học môn Giải tíchBé Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¹i Häc HuÕ Tr-êng §¹i häc S- ph¹mHä vµ tªn thÝ sinh:.............................. Sè b¸o danh:..............................kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc §ît II - n¨m 2005 M«n thi: Gi¶i tÝch(Dµnh cho Cao häc)Thêi gian lµm bµi: 180 phót x2 C©u 1. XÐt chuçi hµm un víi un (x) = , 1 − x2n+1 n=1∞n|x| < 1.∞an a) Víi mçi a : 0 < a < 1, chøng minh |un (x)| ≤ 1−a ®Òu trªn [−a, a].∞∀x ∈ [−a, a]. Tõ ®ã suy ran=1un héi tôb) TÝnh tæng S cña chuçi hµmn=1un trªn (−1, 1).  −1  f (x, y) = 0  1C©u 2. Cho hµm hai biÕn:nÕu y < x2 nÕu y = x2 nÕu y > x2Chøng minh r»ng hµm f (x, y) kh¶ tÝch Riemann trªn h×nh ch÷ nhËt D = [−1, 2] × [0, 5] vµ tÝnh f (x, y)dxdy.D/ C©u 3. Cho (X, d) lµ kh«ng gian mªtric, A lµ tËp con kh¸c trèng cña X, x0 ∈ X vµ x0 ∈ A. §Æt d(x0 , A) = inf d(x0 , a).a∈Aa) Gi¶ sö A ®ãng, chøng minh d(x0 , A) > 0. b) Gi¶ sö A compact, chøng minh tån t¹i y0 ∈ A sao cho d(x0 , A) = d(x0 , y0). c) Gi¶ sö X = Rn víi mªtric Euclide th«ng th-êng vµ A ⊂ Rn lµ tËp ®ãng. Chøng minh tån t¹i y0 ∈ A sao cho d(x0 , A) = d(x0 , y0). C©u 4. Trong kh«ng gian C[0, 1] víi chuÈn max cho d·y (xn ) ⊂ C[0, 1] víi xn (t) = t ∈ [0, 1] vµ to¸n tö A : C[0, 1] → C[0, 1] cho bëi:tn42nt , + t2Ax(t) =0x(s)ds,víi x ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1].a) Chøng minh A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. b) Chøng minh (Axn) héi tô vÒ 0 trong C[0, 1]. C©u 5. Gi¶ sö {en } lµ c¬ së trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert H vµ X lµ kh«ng gian Banach. Gi¶∞sö A ∈ L(H, X) sao cho chuçin=1Aen2héi tô. Chøng minh A lµ to¸n tö compact.Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªmBO GIAO DVCVA DAO TAO DAI H Q C HUEHo vd,ten thi sinh: 56 b6o danh:KVTHI TUYENSrNH SAU DAr HOC NAM M6n thi: Giai tich (dd,nhcho Cao hpr) 180 phirt Thdi gi,anld,mbd,i,;Sv2AO7CAu I. 1. Chohdm hai bi6n f (r,a)-I , 2 + a 0,2ran6u (*,y) + (0,0), n6u (*,a)- (0,0).KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm / t a i d i d m ( 0 , 0 ) Chirng minh rHng dao hAmriOng1xlr6nhsp,A2fd;N(O,0)khongtbn tai (huu hat)hd,m f z. KhAos6,t hoi tu dbucriachu6i sufl:L, .i,,futAp tr6n c6,c sau:,) A: lp,+-), p ) 0ii i ) B - ( 0 ,+ o o ) .v6i khoAng c6ch thong thulng, chitng minh rXng, Cdu II. Trong khong gian metric IR.1.E - {t,2, 1,1,. 1,!.u-L^-,2,3)4)...1n....).*^^^Y7I P ^ 2 F_{iz J1I4 ) s ) . , 1, . . . .) U.Ongphai th,mot t6,pcon compactc i a R . ) t )Cdu III. Kj liiOuX : co th, khong gian dinh chudn gbm c6c day s6 thuc hoi tu vb 0 v6i chudn Y l l r l l- s u pl r n l , , r - ( r . ) n e c ov b , Y - l R v 6 i chudn EucliderLllsll WiZ,. va- (ar,..,un) eY.dinh bdi V6i m6i s6 tu nhien k ta x6t 5nh x? An : X * Y x6cA n r - ( n + r , f r 1 x a 2 t ) r k + n ) , Y r : ( r t ) z e N€ X . 1. Chirng minh Ap litc6,c6nh xa tuy6n tinh lien tuc tri X vh,oY.2. Chirng td rXngJ*Ann - 0 € R. v6i moi z e X.CAu IV. Tren khong gian Hilbert phitc 12 vsi tich vo hu6ng/ S @,il :2*^y,, _:*ong d6 ,:( r , - ) ne { 2 , U : ( U n ) - 1 2 . et2 Ibmot to5,n trl ducvcCho o - (a), x6c dinh bdiie mQt duy c5,cs6 phric bi ch5,nvA,,4.: 12 Ar - (onrn)n, Yr e !2.A. 1. Chirng minh rXng ,4 th mQt to6n trl tuy6n tinh lien tuc vd,tinh chudn c:d:a 2. Tim to6n trl liOn hiep A* cia A. Khi nb,othi A ld mQt to6n tr] tu lien hiep?thi,ch gi, th€m Ghi chri z Cd,n bo coi, thi, khong gi,d,i,no cteo DIJCvA DAO T4O DAI HQC HUEHo ud, thi,sinh: t€n 55 b(to danh..,KV rHr ruyEN srNH sAU DAr Hec wAtra2008MOn thi: Giei tich (ddn,h Cao hqc) cho Thdi gian ldm 180 phrlt bdz: CAu 1. (a dicm) a) Kh6o sat cuc tri dia phuongcriaham hai bi€n:z - (r + a)t - rn - yn. b) Kh6o s6t su hOitU d€u criachu6ihdrn@- -L (r +r-) 4 / ?rvfr*trOn ni€n -{ r D e R | 1 < lrl < 3} CAu 2. (2 dicm) Xet tOphop 11c6cday so thuc kh6 tdng tu_v*€t d6i:1 1- { , - ( r , ) n > r cR I i l r , | < + - } : ,aV6i m6i cflp r : (rn),, A -- (An),,€ /r ta dinh nghiadr(r,a) :-[:: fr, - y,]; dr(r.a) (p (r, - r,))+a) Chrlngminh dr, dz.ldc6c metric tr€n 11. b ) B d n g c 6 c hk h S os 6 t d a y ( € o ) oC l i , v 6 i € o : ( 1 , + , minh khOnggian (lr,dr) khOngday dri.,f ,0,0,... ,0,...), chrrng.llz la hai chudntr€n cung mOt khOnggian X sao cho CAu 3. (2 di€m) Cho ll llr u ll lir) .d (X, (X, li ll llz) dcu la khong gian Banach.Chfing minh rang, hai chudnnd-l,tuong drrongkhi la chi khi diOu kiOn sau thoA m5n:V(,,), X, llt,llr --,Q a Cl l l l , - - , 0 .CAu 4. (2 diem) GiA sri {e,,},,ex ia rnQt irO tnlc chudn trong khong gian Hilbert 11. Chrrng rninh rhng a) Da} (#,),,ex hoi tu ycu nhung khong hoi tu mah trong 11.b) Day (ne,,),,e khOnghoi tu you trong H . x Ghi chfi: Can b0 coi thi klt,Ang gzdi thfclLgi tlt ...