Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 1998

Ngân hàng đề thi cao học đại học Huế từ năm 1999 - Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 1998
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 1998 §Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 19981 M«n §¹i Sè Thêi gian 180C©u 1. Cho (G, ·) lµ mét nhãm h÷u h¹n. §Þnh nghÜa quan hÖ ∼ trªn Gbëi: x ∼ y ⇐⇒ (∃g ∈ G, g −1 xg = y ).Víi mçi x ∈ G, ®Æt Hx = {g ∈ G | g −1 xg = x} vµ Ox = {g −1 xg | g ∈G}. a) Chøng tá ∼ lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn G. b) Víi mçi tËp con A cña G, ký hiÖu |A| lµ sè phÇn tö cña A. Chøngtá r»ng O1G = {1G }, Hx lµ mét nhãm con cña G vµ |G| = |Hx | . |Ox | ,víi mäi x ∈ G. c) Chøng tá nÕu |G| = pn , víi p lµ mét sè nguyªn tè vµ n lµ sè tùnhiªn kh¸c 0, th× tån t¹i mét phÇn tö g ∈ G sao cho gx = xg, ∀x ∈ G.C©u 2. Gi¶ sö Mn(R) lµ vµnh c¸c ma trËn vu«ng thùc cÊp n. a) Chøng minh r»ng, ma trËn A lµ -íc bªn ph¶i cña 0 trong Mn (R)khi vµ chØ khi det(A) = 0. b) Cho tËp hîp N gåm tÊt c¶ c¸c ma trËn cña Mn(R) mµ mäi phÇntö tõ dßng thø hai trë ®i ®Òu b»ng 0. Chøng minh r»ng, N lµ mét vµnhcon cña Mn (R) vµ mäi phÇn tö kh¸c 0 cña N ®Òu lµ -íc bªn ph¶i cñakh«ng trong N . c) Chøng minh r»ng, trong N tån t¹i v« sè ®¬n vÞ tr¸i.C©u 3. Cho A lµ mét ma trËn m hµng vµ n cét víi c¸c phÇn tö thuéctr-êng K. H¹ng cña A ký hiÖu lµ rA , ®-îc ®Þnh nghÜa lµ cÊp cao nhÊtcña c¸c ®Þnh thøc con kh¸c 0 cña A. a) Chøng minh r»ng, rA b»ng sè cùc ®¹i c¸c vector cét ®éc lËp tuyÕntÝnh cña A. b) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh   x1 b1 .  =  . , b ∈ K A . . (∗). . . i xn bn 1 Send from ROBINHOOD - Typeset By PCTEXv.5 1Cho B lµ ma trËn m hµng n + 1 cét nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch ghÐp thªm  b1cét  .  vµo thµnh cét cuèi. Chøng minh r»ng, (∗) cã nghiÖm khi vµ . . bnchØ khi rA = rB .Bµi 4. Gi¶ sö V lµ mét kh«ng gian vector phøc gåm tÊt c¶ c¸c ®a thøccña x víi hÖ sè phøc, f (x) lµ mét ®a thøc ®· cho cã bËc r h÷u h¹n, Vn+1lµ kh«ng gian con cña V gåm c¸c ®a thøc cã bËc kh«ng v-ît qu¸ n. XÐt¸nh x¹: ϕ : V −→ V g −→ f g − gftrong ®ã f , g lµ c¸c ®¹o hµm cña f, g t-¬ng øng. a) Chøng minh r»ng, ϕ lµ phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh cña V. T×m ker ϕvµ chøng tá r»ng ϕ(Vr+1 ) = ϕ(Vr ). b) T×m dim(ϕ(Vr+1 )). 2 §Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 1998 M«n Gi¶i TÝch Thêi gian 180C©u 1. a) Kh¶o s¸t sù héi tô ®Òu cña chuçi hµm ∞ 1 (xn + x−n ) 2 2n n n=1 1trªn miÒn héi tô ®· ®-îc chØ ra lµ ≤ |x| ≤ 2. 2 b) T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm ∞ n n2 n ( ) x. n+1 n=1C©u 2. Cho C[a,b] lµ tËp c¸c hµm liªn tôc trªn ®o¹n [a, b]. a) §Æt d(x, y ) = max |x(t) − y (t)| , x, y ∈ C[a,b]. a≤t≤bChøng minh r»ng, d lµ mét metric trªn C[a,b] vµ víi metric d, C[a,b] lµ métkh«ng gian ®Çy ®ñ. b) §Æt b ρ(x, y ) = |x(t) − y (t)| dt, x, y ∈ C[a,b]. aChøng minh r»ng, ρ lµ mét metric trªn C[a,b] vµ víi metric ®ã C[a,b] lµmét kh«ng gian kh«ng ®Çy ®ñ.C©u 3. a) §Æt C0[0, 1] = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 0},trong ®ã C[0,1] lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm liªn tôc trªn [0, 1] víichuÈn max. Chøng minh r»ng, C0[0, 1] lµ kh«ng gian con ®ãng cñaC[0,1] vµ A : C0[0, 1] −→ C0 [0, 1] x −→ Ax 3cho bëi 1 (Ax)(t) = [x(t2 ) + tx(1)], t ∈ [0, 1] 2lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. TÝnh A . b) Gi¶ sö X, Y lµ hai kh«ng gian Banach vµ A : X −→ Y lµ mét to¸ntö tuyÕn tÝnh. BiÕt r»ng víi mäi y ∗ ∈ Y ∗ , ta cã y ∗ ◦ A ∈ X ∗. Chøng minhr»ng, A ∈ L(X, Y ).C©u 4. Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert. a) Gi¶ sö A ∈ L(H ) lµ mét to¸n tö tù liªn hîp. Chøng minh r»ng, A2 = A 2 , víi A = A ◦ A. b) Cho (An)n∈N ⊂ L(H ) tháa m·n ®iÒu kiÖn sup | An x, y | < +∞ n∈Nvíi mäi x, y ∈ H. Chøng minh r»ng, sup A < +∞. n∈ ...