Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2015 môn Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự kì thi, mời các em và quý thầy cô cùng tham khảo "Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2015 môn Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội" dưới đây. Hy vọng đề thi giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới và thầy cô giáo có thêm kinh nghiệm chấm thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2015 môn Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi :TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên) Thời gian làm bài 120 phút 2  a b  1 1     1   b a  a b Câu 1. (2.5 điểm) Cho biểu thức P   2 với a > 0, b > 0 a  b a b2  a b      b2 a 2  b a  11. Chứng minh p  . ab2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a  b  ab  1 . Tìm min P.Câu 2. (2 điểm) cho hệ phương trình.  x  my  2  4m  mx  y  3m  1Với m là tham số1. Giải phương trình khi m = 2.2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0, y0) là một nghiệm của của hệphương trình. Chứng minh đẳng thức x02  y02  5  x0  y0   10  0 .Câu 3. (1.5 điểm) 2 2Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a  x  a   b  x  b   0Có nghiệm duy nhất. Chứng minh a  bCâu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 600 . Cácđường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.1. Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp.2. Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giácBC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp.3. Chứng minh AK  B1C1 .Câu 5. (1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn:  2 3  2 3  1  1  a  b    b  a     2a    2b    4  4  2  2 Hướng dẫn giảiCâu 1 (2.5 điểm) 2  a b  1 1     1   b a  a b 1. Cho biểu thức P   2 với a>0 , b>0 a  b a b2  a b      b2 a 2  b a   a 2  b 2  ab   a  2ab  b  a 4  b 4  a 3b  ab3 2 2 2  a b  1 1     1    ab  a 2b 2 1  b a  a b    a 3b 3P 2 2  4 4 3 3  4 4 3 3  a b a b a  b  a b  ab a  b  a b  ab ab 2  2    2 2 2 2 b a b a ab ab2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a  b  ab  1 . Tìm min PÁp dụng bât đẳng thức cosi ta có1  4a  b  ab  5 ab 1  25 ab 1 2Dấu bằng xảy ra khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100b2 suy ra b  a 10 5Câu 2 (2 điểm) cho hệ phương trình.  x  my  2  4m  mx  y  3m  1Với m là tham số1 Giải phương trình khi m = 22. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệphương trình .chứn minh đẳng thức x02  y02  5  x0  y0   10  0 1.1. Thay m = 2 ta có  19 x  2 y  6  2 x  4 y  12  5 y  19  y  5   2 x  y  7 2 x  y  7 2 x  y  7 2 x  19  7  5  19  y  5 x  9  5  x  my  2  4m  x  my  2  4m   mx  y  3m  1 m(my  2  4m)  y  3m  1  x  my  2  4m2.   2 2  m y  2m  4m  y  3m  1  3m 2  3m  2  x  my  2  4m  x   x  my  2  4m  m2  1  2 2   m  1  4 m 2   2 (m  1) y  m  1  4m y  2  y  m  1  4m  m 1  m2  1Vì m2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m. 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của củahệ phương trình .chứn minh đẳng thức x02  y02  5  x0  y0   10  0 1.  3m 2  3m  2  0x  m2  1Thay  2  y  m  1  4m 0  m2  1 2 2 x02  y02  5  x0  y0   10   x0  3   y0  4   x0  3 y0  15 2 ...