Đề thi và đáp án kỳ thi học sinh giỏi khu vực ĐBSCL

Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn ôn thi học sinh giỏi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi và đáp án kỳ thi học sinh giỏi khu vực ĐBSCLSÔÛ GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANGTröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN ( Thôøi gian: 180 phuùt )BAØI 1: (4 ñieåm)Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : 2x + 3y = z2BAØI 2: (4 ñieåm)Cho 6 soá thöïc a, b, c, m, n, p thoûa maõn : a 2 + b2 + c2 = 1 vaø m + n + p = 5.Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.mBAØI 3: (4 ñieåm)  x0  m  m  0  Cho daõy soá  xn  :  xn 12  20062 . Tìm lim xn  2 xn  , n  N, n  1 n   xn 1BAØI 4: (4 ñieåm)Cho ñöôøng thaúng (d) vaø hai ñieåm A, B khoâng thuoäc (d); AB khoâng vuoânggoùc vôùi (d). Baèng thöôùc vaø compa haõy döïng M naèm treân (d) sao cho: a. MA ñaït giaù trò nhoû nhaát b. MA ñaït giaù trò lôùn nhaát MB MBBAØI 5: (4 ñieåm)Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Goïi I laø taâm cuûa maëtBCC’B’ vaø  laø ñöôøng thaúng qua D vaø I. Ñoaïn MN thay ñoåi coù trung ñieåmK luoân thuoäc ñöôøng thaúng  , M  ( BCC B ), N  ( A B C D ) . Tìm giaù trò beùnhaát cuûa ñoaïn MN. HEÁTSÔÛ GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANGTröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006 ÑAÙP AÙN ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙNBAØI 1: N/x + x,y  0 vaø x, y khoâng ñoàng thôøi baèng 0. 0.25(0.25 + neáu (x0 ; y0 ; z0) laø moät nghieäm cuûa (1) thì (x 0 ; y0,; - z0) ñ ñ) cuõng laø moät nghieäm cuûa (1). Do ñoù ta chæ caàn giaûi (1) vôùi ñieàu kieän z > 0.TH1 Neáu x = 0, khi ñoù y  1 0.25(1ñ) (1)  1 + 3y = z2  3y = (z – 1).(z + 1) (2) ñ maø 3y laø soá leû neân UCLN[(z – 1) , (z + 0.25 ((z - 1) , (z + 1)) = 1 Ta coù ((z - 1) , (z + 1)) = 2  ñ 1)] = 1 Vaäy (2) z  1  1  y  1  0.5ñ z  1  3 z  2 yTH2 Neáu y = 0, khi ñoù x  1 0.25(1ñ) (1)  2x + 1 = z2  2x = (z – 1).(z + 1) ñ Maët khaùc (z – 1), (z + 1) laø hai soá nguyeân cuøng tính chaün leû 0.25 vaø  ((z - 1) , (z + 1)) = 1 neân : ñ ((z - 1) , (z + 1)) = 2 z  1  2 0.5ñ  x  3 (3)  z  1  2x 1   x  2 z  3  TH3 Caû hai soá x, y 1, khi ñoù töø (1) suy ra: (z ; 2) = (z ; 3) = 1 0.25(1.5ñ)  z  1(mod 3)  ñ 2  2 z  1(mod 4)  Töø (1) suy ra : 2x  z2  1(mod 3)  x  2k ,k  N* Luùc naøy (1) trôû thaønh : 4k + 3y = z2 . Suy ra : 0.25 3  z  1(mod 4)  y  2q, q  N y 2 * ñ k (1) 4 + 9 q = z2 9 q = z2 – 4 k 9 q = (z – 2k)(z + 2k) 0.5ñ (4) Vì (z ; 2) = 1 neân ((z – 2k) ; (z + 2k)) = 1. Töø ñieàu naøy ta coù : z  2k  1  2.2k  9q  1 (* )  (4)   z  2  9 z  2  1 k q ...