Đề thi và đáp án môn Toán cao cấp

Tài liệu tham khảo về Đề Thi toán cao cấp học phần một. Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi giữa kì và cuối kì.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi và đáp án môn Toán cao cấpThi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên Đề thi số 1 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: a/ Phát biểu và tổ hợp tuyến tính của một hệ véc tơ và sự biểu diễn tuyếntính của một véc tơ qua một hệ véc tơ trong không gian véc tơ ¡ n . b/ Trong không gian ¡ 3 , cho H = { A 1, 2, 3, } . Biết rằng tập hợp A A X { t, 2 t 1 2 3 }T = t= ( 1 t , 3)∈ ¡ 3 :X = tA 1 + t A 2 + tA 3 ≠ ∅ . Cho nhận định về số phần tử củaT. +∞ Câu II: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑( n=1 n + 1 − n − 1) ( 2 +−31(x − 1) ) +∞ b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∑ n=1 3n n n Câu III: Cho hệ véc tơ { A 1 = ( 0, ;A 2 = ( 2, ;A 3 = ( 1, ) = ( 2, } . 1, 2) 3, 5) 0, α ;B 4, 7) Với giá trị nào của α thì r { A 1, 2, 3} = r { A 1, 2, 3, } ank A A ank A A B Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: A X = Ο, trong đó:  2 −3 5 −3 3 A = 7 −8 1 1 2  1 −2 1 1 0 .  −4 −3 1  3 5  Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với x1 ,x4 ,x5 làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệmcơ bản của hệ đã cho. H ết 1Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên Đáp án đề thi số 1 ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: b/ Mỗi phần tử của T tương ứng với một cách biểu diễn tuyến tínhcủa X qua hệ véc tơ { A 1, 2, 3} và cũng là tương ứng với một nghiệm của hệ A Aphương trình tuyến tính tA 1 + t A 2 + tA 3 = X (*1). 1 2 3 Giả thiết T ≠ ∅ cho phép ta khẳng định hệ phương trình (*1) có nghiệm ⇔r { A 1, 2, 3} = r { A 1, 2, 3, } . ank A A ank A A X Nếu r { A 1, 2, 3} = 3 thì hệ (*1) chỉ có một nghiệm (vì hệ (*1) là hệ phương ank A Atrình tuyến tính Cramer) ⇒ T chỉ có một phần tử. Nếu r { A 1, 2, 3} = 2 thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào ank A Amột tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số cácđiểm của một đường thẳng. Nếu r { A 1, 2, 3} = 1, (tức là 4 véc tơ A 1, 2, 3, tỷ lệ với nhau và có ít ank A A A A Xnhất một trong các véc tơ A 1, 2, 3 khác véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm A Aphụ thuộc bậc nhất vào hai tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nótương đương với số các điểm của một mặt phẳng. Nếu r { A 1, 2, 3} = 0 , (tức là cả 4 véc tơ A 1, 2, 3, đều là những véc tơ ank A A A A Xkhông) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào ba tham số ⇒ T có vô sốphần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của toàn không gian¡ 3. +∞ +∞ Câu II: a/ ∑( n=1 n + 1 − n − 1) = ∑ n=1 2 n+ 1+ n−1 là chuỗi số dương 2 > 1 ⇔ 2n > n + 1 + n − 1 ∀ n ≥ 2 (*1) Nhận thấy rằng n+ 1+ n−1 n * Tam thức bậc 2: y = x2 − x − 1 có 2 nghiệm: x1 = 1 − 5 vµ x2 = 1 + 5 nên 2 2x2 − x − 1 > 0 ∀ x > 1+ 5 ⇒ n2 − n − 1 > 0 ⇔ n > n + 1 ∀ n ≥ 2 (*2) 2 ( ) 2 * n2 − n + 1 = n − 1 + 3 > 0 ∀ n ⇔ n > n − 1 ∀ n > 1 (*3) 2 4 Từ (*2) và (*3) ⇒ (*1) +∞ +∞ Chuỗi ∑ 1 phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh 1 thì chuỗi ∑( n + 1 − n − 1) phân n=1 n n=1kỳ. 2Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên ...