Định lý cơ bản của số học

Phát biểu định lý: "Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số." Từ đó có dạng phân tích tiêu chuẩn của một số tự nhiên bất kỳ là:Trong đó p1,p2,...,pm, là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Ta có n chia hết cho (k1+1)(k2+1)...(km+1) số tự nhiên. Ví dụ: 300 = 22.52.3 300 chia hết cho (2+1)(2+1)(1+1)=18 số tự nhiên. Số nguyên tố Mersenne Số nguyên tố lớn nhất 1....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý cơ bản của số học Định lý cơ bản của số họcPhát biểu định lý: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tíchđược thành tích những thừa số nguyên tố, và sự phân tích này làduy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số.Từ đó có dạng phân tích tiêu chuẩn của một số tự nhiên bất kỳlà:Trong đó p1,p2,...,pm, là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Tacó n chia hết cho (k1+1)(k2+1)...(km+1) số tự nhiên. Ví dụ: 300 = 22.52.3300 chia hết cho (2+1)(2+1)(1+1)=18 số tự nhiên.Số nguyên tố MersenneSố nguyên tố lớn nhất 1. Giả thiết 1: Không có số nguyên dương X nào là số nguyên tố lớn nhất, nghĩa là không tồn tại số mà các số lớn hơn nó Y > X sẽ buộc phải chia hết cho các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng X 2. Giả thiết 2: số vô cùng lớn ∞ không thể xác định là số nguyên tố hay hợp số 3. Giả thiết 3: Lực lượng của tập hợp số nguyên tố là vô hạn đếm đượcVới 3 giả thiết trên thì việc xác định số nguyên tố lớn nhất làkhông thể được; tuy nhiên, với khả năng tính toán của máy tính,người ta có thể tính ra được số nguyên tố (số nguyên chắc chắnlà số nguyên tố) lớn nhất tính được đến tháng 9 năm 2008 là sốnguyên tố Mersenne thứ 45 (hay 46 nếu tính cả số 1) với12,978,189 chữ số[3]: 243,112,609 − 1..Giả thiết Goldbach - EulerNăm 1742, nhà toán học Đức Goldbach viết thư cho Euler biếtrằng ông mạo hiểm đưa ra bài toán: Mọi số tự nhiên lớn hơn 5đều biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Euler trảlời rằng theo ông, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều biểu diễn đượcdưới dạng tổng của 2 số nguyên tố. Nếu chứng minh được mộttrong hai mệnh đề thì sẽ chứng minh được mệnh đề còn lại. 200năm sau, đến năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vinogradov đãgiải quyết gần trọn vẹn bài toán đó bằng cách chứng minh rằngmọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3số nguyên tố.Cho đến nay, bài toán Goldbach-Euler vẫn chưa giải được hoàntoàn. Nếu mệnh đề của Euler là đúng, hãy chứng minh mệnh đềGoldbach. Giải: Cho số tự nhiên n>5, ta sẽ chứng minh rằng nviết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Xét: 1. Trường hợp 1: Nếu n chẵn thì n=2+m với m chẵn, m>3. vì số chẵn >2 kế tiếp là 4 nên dù là m>3 thì m vẫn viết được dưới dạnng tổng 2 số nguyên tố.2. Trường hợp 2: nếu n lẻ thì n=3+m với m chẵn, m>2. Theo mệnh đề Euler, m chẵn, m>2 nên m viết được dưới dạng tổng hai số nguyên tố. Do đó n viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.