Định lý giá trị trung bình POMPEIU và phương trình hàm liên quan

Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu các định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm xuất phát từ định lý. Các phương trình này được biết đến là kiểu Stamate. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý giá trị trung bình POMPEIU và phương trình hàm liên quanTẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN POMPEIU’S PO P I MEAN AN VALUE A THEOREM TH O AND AN RELATED AT FUNCTIONAL NCTIONA EQUATIONS ATIONNgàN y nhận bài : 08/3/2021 Ths. Trần Thị Yến LyNgàN y nhận kết quả phản biện : 16/9/2021 Trường Đại học Tài chính - Kế toánNgày duyệt đăngN : 25/9/2021 TÓM TẮT Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu các định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phươngtrình hàm xuất phát từ định lý. Các phương trình này được biết đến là kiểu Stamate. Từ khóa: Định lý giá trị trung bình Pompeiu, phương trình hàm Stamate. ABSTRACT In this paper, the author studies Pompeiu’s mean value theorem and related functional equations.These equations are known as the Stamate type. Keywords: Pompeiu mean value theorem, Stamate equation. 1. Đặt vấn đề Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốctừ định lý Rolle, được chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đathức vào năm 1691. Năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrangemà ngày nay gọi là định lý giá trị trung bình Pompeiu. Tác giả hi vọng tạo được một tài liệu thamkhảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và các phương trình hàmliên quan đến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêmcác kết quả trong lĩnh vực này. 2. Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan 2.1. Định lý giá trị trung bình Pompeiu Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng [a, b ] không chứa 0 và với mọi cặp x1 ≠ x 2trong [ a, b ] , tồn tại điểm ξ ∈ ( x1 , x 2 ) sao cho x1.f ( x 2 ) − x 2 .f ( x1 ) = f ( ξ ) − ξ .f ( ξ ) . (1) x1 − x 2 Chứng minh: 1 1Định nghĩa một hàm giá trị thực F trên khoảng  ,  bởi b a  1 F(t) = t.f   . (2) t 1 1 Vì f khả vi trên [ a, b ] và 0 ∉ [ a, b ] nên F khả vi trên  ,  và b a  1 1 1 F (t) = f   − f   . (3) t t t 1 1 Áp dụng định lý giá trị trung bình đối với F trên [ x, y ] ⊂  ,  , ta có b a 90 ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN F(x) − F(y) = F (η). (4) x−y 1 1 Với η∈ ( x, y ) nào đó. Đặt x 2 = ; x1 = ; x y Khi đó vì η∈ ( x, y ) , ta có x1 < ξ < x 2 . Sử dụng (2) và (3) trên (4) , ta có 1 1 xf  − yf   x    y = f  1 − 1 f 1      x−y  η η  η x f ( x 2 ) − x 2 f ( x1 )hay 1 = f ( ξ ) − ξf ( ξ ) . ...