Đồ họa máy tính : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU part 2

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFFINEPhép biến đổi affine bảo toàn đường thẳng Ảnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng. Thật vậy, ta có phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm A, B là : nhận được sau phép biến đổi M.Nếu gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép biến đổi M, ta sẽ có . Đây chính là dạng của phương trình tham số đoạn thẳng qua A’, B’. ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đồ họa máy tính : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU part 23. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFFINE Phép biến đổi affine bảo toàn đường thẳngẢnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng.Thật vậy, ta có phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm A, B là : . các điểmnhận được sau phép biến đổi M.Nếu gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép biến đổi M, ta sẽ có . Lúc này . Đây chính là dạng của phương trình tham số đoạn thẳng qua A’, B’.Từ kết quả trên, để biến đổi một đoạn thẳng đi qua hai điểm A và B, ta chỉ cần áp dụng phép biến đổi cho haiđiểm A, B rồi vẽ lại đoạn thẳng qua hai điểm mới. Tính song song của các đường thẳng được bảo toànẢnh của hai đường thẳng song song là hai đường song song.Chúng ta có thể viết lại phương trình tham số của đường thẳng dưới dạng tia xuất phát từ A ứng với t=0 và theophương như sau : . Lúc này ta biểu diễn hai đường thẳng song song dưới dạng tia : và có cùng phương nhưng xuất phát từ hai điểm khác nhau. Lúc này áp dụngphép biến đổi lên hai đường thẳng song song này, dễ dàng nhận ra ảnh của chúng sẽ có phương nên chúngsong song.Một hệ quả quan trọng của tính chất này đó là ảnh của các hình bình hành sau phép biến đổi là các hình bìnhhành. Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo toànGiả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỉ số t. Nếu A’, B’, C’ lần lượt là ảnh A, B, C qua phép biến đổi thì C’cũng sẽ chia A’B’ theo tỉ số t.Trong trường hợp đặc biệt, nếu C là trung điểm của AB thì C’ cũng là trung điểm của A’B’, từ đó ta có thể suyra một số tính chất sau : Trong hình vuông, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên các đường chéo của bất cứ hình bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến chia mỗi đường theo tỉ số 1:2. Mặt khác, một tam giác bất kì là ảnh của tam giác đều qua phép biến đổi affine, nên giao điểm của các đường trung tuyến của nó cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2.4. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC4.1. Phép đối xứng Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay quanh trục đối xứng một góc 1800. Nếu trục đối xứng là trục hoành hay trục tung, chúng ta có biểu diễn của phép đối xứng qua trục hoành, trục tung lần lượt là :4.2. Phép biến dạng Phép biến dạng là phép biến đổi làm thay đổi, méo mó hình dạng của các đối tượng. Hai dạng phép biến dạng thường gặp đó là biến dạng theo phương trục x và biến dạng theo phương trục y bằng cách thay đổi tọa độ của điểm ban đầu theo cách sau : Biến dạng theo phương trục x sẽ làm thay đổi hoành độ còn tung độ vẫn giữ nguyên Biến dạng theo phương trục y sẽ làm thay đổi tung độ còn hoành độ vẫn giữ nguyên và lần lượt được gọi là các hệ số biến dạng. Hình 3.5 – Phép biến dạng theo phương trục x với hệ số biến dạng4.3. Phép biến đổi ngược4.3. Phép biến đổi ngược Chúng ta thường dùng phép biến đổi ngược để có thể undo một phép biến đổi đã thực hiện. Ta có Q là ảnh của P qua phép biến đổi T có ma trận biến đổi M là : , từ đó phép biến đổi ngược T-1 sẽ có ma trận biến đổi là M-1 với M-1 là ma trận nghịch đảo của ma trận M. , ta có công thức tính ma trận nghịch đảo M-1 của Với giả thiết ban đầu về ma trận M là là : Như vậy ta có ma trận của các phép biến đổi ngược của các phép biến đổi cơ sở tịnh tiến, tỉ lệ, quay lần lượt như sau :4.4. Phân rã phép biến đổi Một phép biến đổi bất kì có thể được phân rã thành tích các phép biến đổi cơ sở như tịnh tiến, quay, tỉ lệ. Một phép biến dạng theo phương trục x có thể được phân rã thành tích của một phép biến đổi tỉ lệ và một phép biến dạng đơn vị, và với một phép biến đổi tỉ lệ khác theo công thức sau : Phép biến dạng đơn vị còn có thể được phân rã tiếp : trong đó Từ đó, một phép biến đổi bất kì có thể được phân rã thành các phép biến đổi cơ sở sau : trong đó . Với cách lập luận trên ta nhận thấy : bất kì phép biến đổi nào cũng được kết hợp từ các phép biến dạng, tỉ lệ, quay, và tịnh tiến. Tuy nhiên, theo kết quả ở bước trước, phép biến dạng là sự kết hợp của các phép quay, tỉ lệ, nên từ đó suy ra bất kì phép biến đổi nào cũng được kết hợp từ các phép tịnh tiến, tỉ lệ và quay.5. P HÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘĐể thuận tiện cho việc mô tả đối tượng, thông thường đối tượng sẽ được mô tả trong các hệ tọa độ cục bộ gắnvới chúng. Tuy nhiên để có thể hiển thị toàn bộ một ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành phần, các mô tả này phảiđược chuyển về một hệ tọa độ chung duy nhất. Việc chuyển đổi này t ...