Động lực học công trình - Bài tập: Phần 2

Tài liệu biên soạn dựa trên khung chương trình môn học trình độ đại học ngành xây dựng công trình, giúp sinh viên nâng cao khả năng thực hành trong tính toán và thiết kế kết cấu chịu tác dụng của các dạng tải trọng đồng thường gặp trong thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 tài liệu được chia sẻ dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Động lực học công trình - Bài tập: Phần 2Chương 3DAO ĐỘNG CỦA HỆv ôHẠN BẬC TỤ DOPhương trình vi phân dao động tự do của dầm có khối lượng phân bô theo chiều dài và độcứng không đổi có dạng:m ^ + E J -^ = 0ổx-*(3.1)Nghiệm của phươiig trình vi phàn này được biếu thị bằng tích của hai hàm:y(x,o = ^ x . - T u )trong đó:U .2 )- hàm chí phụ thuộc vào tọa độ x;- hàm chí phụ thuộc vào thời gian t.Khi đó phươngthông thường:trình vi phân dao động tự do được tách làm hai phương tiình vi phánd ■T2+ (0 ‘^ T - 0dt—dxEJ^ =0Nghiệm của các phương trình vi phân tương ứng này là:= C|T(,) = A sinwt + B coscot(3.3)+C2 co skx +c,(3.4)sin kxsh kx + C 4 c h k xtrong đó;A, B là các hàng số được Xííc định từ các điều kiện ban đầu, C |, Co, C 3, C 4 là các hằng sôđược xác định từ các điều kiệnbiên.k* = coGiá tri k đươc xác đinh theo các điều kiên biên, nó phu thuôc vào liên kếtEJđầu dầm. Từ biểu thức trên, ta có thê tìm được công thức xác định tần số dao động tự do:ơ) = J — k ~(3.5)VmKhi hệ chịu tác dụng xung phân bố, xưng khai triến theo các dạng dao động riêng đượcxác định theo công thức;162S ,„X ,d x(3.6)£ m ,x fd xPhương trình dao độns cứa hệ chịu tác dung xung là:s ,(x )........(3.7)y.x.uKhi hệ chịu tác dụngCLÌatái trọng dộng phân bố cỏ quy liiât thay đổi bất kỳ theo thờigian, tái trọng khai triến theo các dạng dao động riêns được xác định theo công thức:(3.8)M, ( X)í m ,x f d xPhương trình dao động của hệ:(3.9)Trong dó: K,, (t) !à hệ sò iiiili hươn” dỏiig học ihco thời gian,lỉài 3.1: a) Xác định tần sò d;io dóiiị^ riêng:m,EJ/Vf*-----------r/T/r/-H1 =2H ình 3.1Các điéu kiện biêii:tạiX= 0:x .„ „ = 0 , - £ ^dx=0(a)163tại X =/:d^/. (/)’(b)0dxTừ 3.4 ta lấy đạo hàm lên:d^-x— = ỵ_ ( - C | sin k - C 2 cos kx + C 3 sh kx + C 4 ch kx)dxd^xThay điều kiện biên (a) vào phưong trình và — Y sẽ được:dx C 2 + C 4 =0(c)- C 2 + C 4 = 0 , suy ra : C 2 = C 4 = 0Viết điều kiện biên (b) có kể đến (c) sẽ được hai phưong ■ ìũ;/C | sin k / + C 3 sh k / = 0- C | sin k/ + C 3 sh k/ = 0Đề tồn tại dao động thì C |0, c ,0 , do đó tasin k/sh k/-sin k /shk/ iii th r=0Khai triển định thức, sẽ nhận được phương trình tần số;D = sin k/, sh k/ = 0Vì k luôn khác không, nên sh k/ ^ 0, do đó:sin k/ = 0(d)Suy ra: k/ = ÌTI,Với i = 1,2, 3,..co.Đưa giá trị k vào biểu thức (3.5) ta nhận được:EJe)V mTần số dao động riêng thấp nhất (tần số cơ bản) ứng với i = 1:(0 , = 00min =EJ/“ Vmh) Xúc địiìlì cúc íiợììi dao độ/ìiỊ riêiìíỊ:Dạng dao động tống quát của hệ theo (3.4) có tính đến (c) sẽ là:X(^) = C| sin kx + C| sh kx164(0T ạiX = /, la cỏX,, - C , sin k/ + c , s h k / - ulừ (i)s L iy(i)^sin k/ra: c , = -C I ■s h k/Vì sin k/ = Ü ncii C, = 0, do đó (a ict lai (Ọ:= C| sin kx, hay:X,= c s in -~/(k)1 = 1,2. 3 , . . . X)(k) là phrưnti tiình dạng dao dộim riêim của hệ. Các dạn« dao động riêng của hệ đượcmó t;i trên hình 3.1 với ba dạng dao đôiia riêng đáu tièn ihi« với i = 1, i = 2, i = 3.Bài 3.2; Các đicu kiện bicii:-TaiXm, EJ= 0:uodx(b)Tliế đicLi kiện bièn (a) vào pluiong irình Í3 4; và đạchàin cúa nó, I;i được:C , + c , -:()(C Ic, + c , =0Viết diổu kiện biên (b) có kc đèn (c) ta được haiphưoìm Irình. Đicu kiện đó tổn lai dao dộng sẽ cho taphương triiih tần sỏsau:Hình 3.2D = cos kl ch k/ + 1 = 0N hiệm cua plnroìm trìnliviệi Iren:SÌCLII.S75~/;Ir i i c c á c u i á t r ị k v à o ( J . 5 ) I:i d ư ơ c c á c u i á t r ị t á n s ỏ3. 3160, ,=:./-ILĨíV22p111dao đòng riêng:.VmEJ61,7ỊẼ Ìi0) 3=:./-,Vni165Mồi tần số (ở, ứng với mỗi dạng dao động riêng. Ba dạng dao động riêng đầu tiên dượcm ô tả trên hình 3.2.Bài 3.3: Đ áp số:Phương trình tần số dao động riêng, giá trị các tần sô dao động riêng và phưưiìg trình dạngdao động riêng cho ở bảng 3.1. Ba dạng dao động riêng đẩu tiên được mô tả trên hình 3.3.m, EJi =2Hình 3.3Bài 3,4: Đ áp số;Phương trình tần số dao động riêng, giá trị các rần số dao động riêng và phươiig trình dạngdao động riêng cho ở bảng 3.1. Ba dạng dao động riêng đầu tiên được m ỏ tả trên hình 3.4.m. EJ1i =2í=3Hình 3.4166 ...