Đồng nhất thức pohozaev cho hệ phương trình elliptic suy biến và ứng dụng

Bài viết trình bày sự không tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ phương trình elliptic suy biến và ứng dụng với số Ohm là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian iN (N >= 2).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đồng nhất thức pohozaev cho hệ phương trình elliptic suy biến và ứng dụngPhạm Thị Thủy và ĐtgTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ181(05): 15 - 18ĐỒNG NHẤT THỨC POHOZAEV CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTICSUY BIẾN VÀ ỨNG DỤNGPhạm Thị Thủy1, Lê Thị Hồng Hạnh21Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Hoa LưTÓM TẮTTrong bài báo này chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ  u  f  x, u , v   0 trong phương trình   v  g  x, u , v   0 trong u  v  0 trên ở đây  là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ N ( N  2) và   là toán tử elliptic  2 u  i,xi i 1 xi trong đó    1 ,  2 ...,  N  thỏa mãn một số điều kiện cho trước. the given tolerance Kết quả này làNsuy biến có dạng  u  sự tồng quát trong bài báo của N. M. Chuong; T. D. Ke [N. M. Chuong; T. D. Ke (2004),Existence of solutions for a nonlinear degenerate elliptic system. Electron. J. DifferentialEquations, no. 93, 15 pp.] cho toán tử  Từ khóa: nghiệm không tầm thường, toán tử   , hệ phương trình elliptic suy biến, đồng nhấtthức kiểu Pohozaev, hệ HamiltonianGIỚI THIỆU*Trong [2] và [4] đã đưa ra khái niệm toán tử  nhưsauN :   xi  2i  xii 1   1 ,  2 ,...,  N  là hàm liên tục trên ¡mãn điều kiện sau:1. Tồn tại một nhóm  t t 0 thỏa mãnt : ¡NvớiN t  x    t  x1 , x2 ,..., xN    t  x1 , t  x2 ,..., t  xN  ,với2  u  f  x, u , v   0 trong   v  g  x, u , v   0 trong u  v  0 trên thỏa¡ ,1Giả sử  là một miền bị chặn với biên trơntrong không gian ¡ N ( N  2) và 0 . Chúngta xét bài toán Dirichlet sau:Nở đây f  x, y, z  , g  x, y, z  là các hàm liên tụcthỏa mãn các điều kiện cho trước. ĐặtN°   , T    x ,  x ,...,  x  ,Ni1 12 2N Ni 1N1  1   2  ...   N ,  i  t  x    t  i 1 i  x  ,Tu    i xi  xi u : i xi  xi u ,    11 ,  2 2 ,...,  N N  .x  ¡Định nghĩa: Miền  được gọi là  t hình saotại 0 nếu 0 và T ,   0, với mọi điểmtrên ,  là vecto pháp tuyến ngoài của  .Ni 1, t  0, i  1,..., N ;2.  1  1,  i  x    i  x1 ,..., xi 1  , i  2,..., N ;3. Tồn tại hằng số   0 thỏa mãnS1) Tồn tại hàm H  x, u, v   C1   ¡0  xk  xk  i  x    i  x  ,k  1,..., i  1 , i  2,..., N , x  ¡ ;Nx   x1 , x2 ,..., xN   ¡N, x*   x1 , x2 ,..., xN2thỏamãn:v H  f , u H  g, H  x,0,0  0, x . .4. Với mỗi.Trong trường hợp  1,1,...,1, x1 ,..., x1*1.1kkTel: 0913 00502715Phạm Thị Thủy và ĐtgTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ  x N1với k  ¡ , x 1   x1 ,..., xN  , x 1  x2 j1u x j   2j x j v    i xi  xi v x j  2j  x j u dxi i xij 1181(05): 15 - 18  x u 2j  x j v j   i xi  xi v 2j  x j u j dscó N1 số 1 và N  N1 số x 1 kết quả của bàibáo đã được trình bày trong [2] và [3].Trong bài báo này chúng tôi chỉ ra đồng nhấtthức Pohozaev đối với hệ phương trìnhelliptic suy biên và ứng dụng của đồng nhấtthức đó đối với sự không tồn tại nghiệmkhông tầm thường của hệ phương trìnhelliptic suy biến.KẾT QUẢ CHÍNHĐịnh lý 1. Nếu  là  t hình sao tại 0 và cáchàm f .,.,. , g .,.,. thỏa mãn điều kiện S1.   x j  i xi  xi u   2j x j v    x j  i xi  xi v  2j  x j u dx  I1  I 2Nếu u, v   H 2    H 2   là nghiệm củaBài toán 1.1. Khi đó ta có° G  X , u  dX  2 T , G dX2N  uf  X , u  dX  T ,  2 u dsu  dx  I21 I 22I 22     i xi  x j u 2j x j vi   i xi  xi v 2j  x j ui dS     xi  i xi  2j  x j v  x j u   xi  i xi  2j  x j u  x j v dx   I1  I 23I 23    i  2j  x j v x j u   i  2j  x j u x j v dx    x     x v   i  2j xi  xi x j v x j u   i  2j xi  xi x j u x j v dx G  X , u  dx    x  g 2jxijxju   i xi  xi   2j   x j u x j v dx   u,  v dx  Iixiu   xi G dX , 2 I 21   u,  vdx  I 22  2 I 21   u,  vdxDo vậyi° H  x, u, v  dx  T , H dx  1 I  N°2N12    i xi g  xi u  f  xi u dx    i xi  xi Hdx,NNi 1 i 1 ° H  x, u, v  dx N   i xi  xi Hdx     i xi g  xi u  f  xi u dx,° H  x, u, v  dx  T , H dx    T , u g  T , v f  dx,NDo u, v là nghiệm của hệ nên ta có:° H  x, u, v  dx  T , H dx   T , u  v  T , v  u  dxN221°2 I 22  I 21   I1  N2  G  x, u, v  dxNên    i xi  xi u x j   2j x j v    i xi  xi v x j  2j  x j u dx   i xi  xi u x j   2j x j v    i xi  xi v x j  2j  x j u dxThe ...