Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

Mục đích nghiên cứu của luận án là nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian bằng phương pháp hàm Lyapunov.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH TUẤN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNHĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIANChuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán họcMã số: 62.46.01.06 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN HỮU DƯ Phản biện 1:........................ Phản biện 2:........................ Phản biện 3:........................ Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấmluận án tiến sĩ họp tại : vào hồi giờ ngày tháng năm 20 ... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Tóm tắt Lý thuyết giải tích trên thang thời gian được đưa ra lần đầu tiên năm 1988 bởiS. Hilger (xem [29]) nhằm thống nhất các kết quả cho giải tích đối với thời gian liêntục cũng như thời gian rời rạc, đồng thời xây dựng mô hình toán học cho các hệ thốngtiến triển không đều theo thời gian, phản ánh đúng các mô hình thực tế. Từ khi rađời, lý thuyết này đã nhận được sự chú ý của nhiều nhóm nghiên cứu và đã có hàngngàn công trình nghiên cứu liên quan đến giải tích trên thang thời gian. Một trongnhững bài toán quan trọng của giải tích trên thang thời gian là nghiên cứu tính chấtđịnh tính và định lượng của phương trình động lực như là các bài toán về tồn tại duynhất nghiệm, các phương pháp giải số nghiệm và các bài toán ổn định... Tuy nhiên, cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời giantập trung chủ yếu ở giải tích tất định, tức là các phương trình động lực không có sựtham gia của các yếu tố ngẫu nhiên. Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các môhình phát triển trong các điều kiện môi trường không bị nhiễu nhiễu. Hiển nhiên, cácmô hình như thế là không thực tế và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác độngvào môi trường. Do đó, việc chuyển các kết quả về giải tích của các mô hình tất địnhtrên thang thời gian sang mô hình ngẫu nhiên trên thang thời gian là một nhu cầucấp thiết. Theo chúng tôi được biết, gần như chưa có kết quả nào đáng kể về nghiên cứugiải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, đặc biệt các kết quả liên quan đến lý thuyếtổn định của các phương trình động lực và phương trình động lực có trễ. Các kết quảban đầu về thang thời gian và giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian được đề cậptrong [15, 16, 46, 47, 49, 68, ...]. Với các lý do nên trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là “Tính ổnđịnh của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian”. Trong luận án chúng tôi sẽ đề cập đến những vấn đề sau: • Nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực có trễ trên thang thời gian theo đạo hàm ∇: đưa ra khái niệm phương trình ∇-động lực ngẫu nhiên có trễ, nghiệm của phương trình, phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian. Chúng tôi cũng đưa ra những ước lượng moment của ước lượng nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ 1 trên thang thời gian. • Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian bằng phương pháp hàm Lyapunov. Nếu như giải tích ngẫu nhiên với thời gian liên tục là chủ đề khó vì đòi hỏi nhiềukiến thức cơ sở liên quan đến lý thuyết quá trình Markov, lý thuyết martingle thìnghiên cứu hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian khó hơn nhiều vì cấu trúc củamôt thang thời gian rất đa dạng. Điều này khiến cho các tính toán khá phức tạp vàchúng cần một số cải tiến. Bên cạnh đó, một số ước lượng của tính toán ngẫu nhiêncho thời gian liên tục không tự động đúng trên thang thời gian tùy ý đòi hỏi phải cócác kỹ thuật phù hợp để có thể nhận được kết quả tương tự. 2Chương 1Kiến thức chuẩn bị Ở phần đầu của chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về lý thuyếtthang thời gian. Định nghĩa ∇−đạo hàm và ∇−tích phân của một hàm xác định trênthang thời gian. Những kết quả cho ∆-đạo hàm và ∆-tích phân sẽ không được giớithiệu trong luận án này, nhưng ta có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách, ví dụ như[6, ...]. Ở phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết về giải tích ngẫunhiên trên thang thời gian, các khái niệm này dựa trên các khái niệm cơ bản về giảitích ngẫu nhiên thông thường mà ta đã biết. Cụ thể chúng tôi giới thiệu về các kháiniệm của quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian: quá trình khả đoán, martingale,semimartingale, thời điểm dừng, khai triển Doob-Meyer; ∇−tích phân ngẫu nhiên trênthang thời gian; công thức Itô và ứng dụng của công thức Itô để phát biểu bài toánmartingale; đặc biệt là đưa ra công thức của hàm Lyapunov: LV (t, x) = V ∇t (t, x) + AV (t, x) d ∇t X ∂V (t, x) =V (t, x) + (1 − 1I (t))fi (t) + V (t, x + f (t)ν(t)) − V (t, x) Φ(t) i=1 ∂xi d 1 X ∂ 2 V (t, x) Z c b − X ∂V (t, x) + gi (t)gj (t)K t ...