Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân (GV Lê Thị Xuân)

Bài toán tìm nguyên hàm và tích phân là một bài toán cơ bản và quan trọng nhưng lại gây khó khăn cho không ít bộ phận học sinh lớp 12. Để tìm hiểu nguyên nhân vì sao lại có khó khăn đó và các giải bài toán dễ dàng mời bạn tham khảo chuyên đề: Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân (GV Lê Thị Xuân) Chuyên đề Toán học: Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân Giáo viên: Lê Thị Xuân – Trường THPT Thăng LongA – Lời dẫn Đối với học sinh lớp 12, bài toán tìm nguyên hàm và tích phân là một bàitoán cơ bản và quan trọng nhưng lại gây khó khăn cho không ít bộ phận họcsinh. Nguyên nhân của khó khăn trên có thể được giải thích như sau: - Do phần tìm nguyên hàm – tích phân có nhiều công thức cần nhớ - Do có nhiều dạng bài “chồng chéo” - Do học sinh mới tiếp xúc khái niệm Nguyên hàm – tích phân - … Là một giáo viên dạy khối 12, tôi đã băn khoăn, trăn trở tìm phương phápgiúp các em tiếp cận được vấn đề một cách dễ dàng hơn. Qua thực tế giảngdạy, tôi đã đúc rút một số kinh nghiệm trong sử dụng các biến đổi vi phân đểgiảng dạy nội dung Nguyên hàm – Tích phân. Tôi rất mong chuyên đề nhậnđược sự quan tâm, chỉ bảo của các đồng nghiệp để tôi có thêm nhiều kinhnghiệm trong giảng dạy hơn.B – Nội dung chuyên đề1. Cơ sở lý thuyếtCơ sở quan trọng của phương pháp này là việc sử dụng công thức tính viphân d[f(x)] = f’(x).dxChuyển sang khái niệm nguyên hàm, ta hiểu rằng:“Nếu có một công thức trong bảng nguyên hàm là dx = x + C thì sẽ có côngthức tương ứng là d [ f ( x )] = f ( x) + C .”Tổng quát: Nếu f (x).dx = F(x) + C thì f [ u(x) ] .u (x)dx = F [ u(x) ] + C Một số biến đổi vi phân cần nhớ:1) cosx.dx = d(sinx) 2) sinx.dx = - d(cosx) 1 dx = d ( tan x ) 3) cos 2 x 1 5) ex.dx = d(ex) 14) sin 2 x dx = −d ( cot x ) 6) a x dx = ln a ( ) d ax7) 1 x dx = d ( ln x ) 8) xα dx = 1 α +1 ( d xα +1 ) 9) 1 x ( dx = d 2 x ) Ngoài ra, cần ghi nhớ công thức mở rộng: f’(x).dx = d[f(x) + C]2. Các ví dụVí dụ 1: Tìm các nguyên hàm:1. cos ( 7 x + 5 ) dx sin x 2. e .cos x.dxBước 1: Phân tích đề bài: 11. cos ( 7 x + 5 ) dx = cos ( 7 x + 5 ) . d ( 7 x + 5 ) 72. esin x .cos x.dx = esin x .d (sin x)Bước 2: Trình bày lời giải: 1 11. � ( 7 x + 5 ) dx = cos � ( 7 x + 5) .d ( 7 x + 5) = 7 sin ( 7 x + 5 ) + C cos 72. � .cos x.dx = � .d (sin x) = e + C esin x esin x sin xVí dụ 2: Tìm các nguyên hàm: ln x.dx ( 2x + 1) ( x + x + 5 ) .dx 7 71. 2 2. sinx.cos x.dx 3. xGiải1.� + 1) ( x( 2x + x + 5 ) .dx = � 2 + x + 5 ) .d ( x 2 + x + 5 ) (x 2 7 7 1 2 ( x + x + 5) + C 8 = 82. 1 sinx.cos 7 x.dx = (− cos 7 x).d(cos x) = - cos8 x + C 83. ln x.dx 1�x = � x.d(ln x) = ln 2 x + C ln 2Ví dụ 3: Tìm các nguyên hàm: sin x − cos x x.dx1. sin 3x.cos2x.dx 2. dx 3. sin x + cos x 3 x2 + 1Giải1. 1� 3x.cos2x.dx = �[ sin 5x + sinx ] .dxsin 2 1 d(5x) 1 1 1 == � 5x. 5 + 2 � x.dx = − 10 cos5x - 2 cosx +C sin sin 22.sin x − cos x d ( sin x + cos x )� x + ...