ÐÊ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUÔC LÂN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ÐẠI SÔ

MÔN: Đại số thời gian: 180 phút NỘI DUNG: Câu 1: Cho A, B là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0, th a AB = BA và A2006 = B 2006 = 0 . Chứng minh ( A + B )2005 = 0 . Câu 2: Cho 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn , xi , yi ∈ ¡, i = 1,..., n.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ÐÊ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUÔC LÂN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ÐẠI SÔB GIÁO D C C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAMTrư ng ĐH An Giang Đ c l p - T do - H nh phúc Đ GI I THI U OLYMPIC TOÁN TOÀN QU C L N TH XIV NĂM 2006 MÔN: Đ I S Th i gian: 180 phút N I DUNG:Câu 1: Cho A, B là các ma tr n vuông th c c p 2 khác 0, th a AB = BA vàA2006 = B 2006 = 0 . Ch ng minh ( A + B )2005 = 0 .Câu 2: Cho 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn , xi , yi ∈ ¡, i = 1,..., n. ∆n = ... ... ... ... 1 + xn y2 1 + xn y2 ... 1 + xn ynTính ∆ 2 , ∆ 3 . T đó tính ∆ n , n ≥ 4 .Câu 3: Tìm m t ma tr n vuông c p hai B = (bij ), bij ≠ 0, i, j = 1,2 sao cho B có 2 giá trriêng λ1 = 2, λ2 = 5.Câu 4: Cho A là m t ma tr n vuông th c c p n không kh ngh ch và At là ma tr nchuy n v c a A. Ch ng minh r ng, t n t i các s th c x1 , x2 ,..., xn không đ ng th i b ng0 th a  x1  x  [ x1 x2 .... xn ] A A  ...  = 0 2 t    xn  ---------------------------------------------------------------------------Ngư i gi i thi u Th c s Hoàng Huy SơnTrư ng b môn Toán Trư ng Đ i h c An Giang. 1B Giáo D c C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAMTrư ng ĐH An Giang Đ c l p - T do - H nh phúc ĐÁP ÁN Đ THI GI I THI U OLYMPIC TOÁN TOÀN QU C L N TH XIV NĂM 2006 MÔN: Đ I S Th i gian: 180 phút N I DUNG:Câu 1: Cho A, B là các ma tr n vuông th c c p 2 khác 0, th a AB = BA vàA2006 = B 2006 = 0 . Ch ng minh ( A + B )2005 = 0 .GI I: T gi thi t A2006 = 0 suy ra detA = 0. Ký hi u A = (aij ), i, j = 1,2 thì ta có a a12  ,λ ∈ ¡ .A =  11 λ a11 λ a12   D th y a12   a11 (a11 + λ a12 ) a12 (a11 + λ a12 )  a a12  a11 A2 =  11 =     λ a11 λ a12  λ a11 λ a12   λ a11 (a11 + λ a12 ) λ a12 (a11 + λ a12 )  a a12  a a12  = (a11 + λ a12 )  11 = (a11 + λ a12 )  11    λ a11 λ a12   λ a11 λ a12  ⇒ A2006 = (a11 + λ a12 )2005 A. Do A2006 = 0 và A ≠ 0 nên (a11 + λ a12 ) 2005 = 0 ⇒ (a11 + λ a12 ) = 0 . V y A2 = 0. Tđó An = 0, ∀n ≥ 2 . Tương t thì B n = 0, ∀n ≥ 2 . 2005Ta có ( A + B) 2005 = ∑ C2005 A2005−n B n = 0 . (Đpcm) n n =0Câu 2: Cho 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn ∆n = ... ... ... ... 1 + xn y2 1 + xn y2 ... 1 + xn ynTính ∆ 2 , ∆ 3 . T đó tính ∆ n , n ≥ 4 .GI I: 2 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ∆2 = 1 + x2 y1 1 + x2 y2 1 1 1 x1 y2 x1 y1 1 x1 y1 x1 y2 = + + + 1 1 1 x2 y2 x2 y1 1 x2 y1 x2 y2 = 0 + y2 ( x2 − x1 ) + y1 ( x1 − x2 ) + 0 = ( x2 − x1 )( y2 − y1 ). 1 + x1 y1 1 + x1 y2 1 + x1 y3 ∆ 3 = 1 + x2 y1 1 + x2 y2 1 + x2 y3 1 + x3 y1 1 + x3 y2 1 + x3 y3 Dùng các tính ch t c a đ nh th c gi ng như đ i v i ∆ 2 , ta có các đ nh th c thànhph n đ u b ng 0 (đ u có hai c t gi ng nhau ho c t l nhau). V y ∆ 3 = 0 . Nh n xét đócũng đúng cho các ∆ k , ∀k ≥ 4.Câu 3: Tìm m t ma tr n vuông c p hai B = (bij ), bij ≠ 0, i, j = 1,2 sao cho B có 2 tr riêngλ1 = 2, λ2 = 5. ...