Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tập tài liệu này là của thầy Nguyễn Phú Khánh , tổng hợp một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, của một biểu thức nhiều biến số, .... Có cả những bài toán cực trị hình học Tài liệu hay để các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtNguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TÓM T T LÝ THUY T• ( ) Hàm s f x xác ñ nh và có liên t c trên ño n a;b  thì f x xác ñ nh trên kho ng a;b .   ( ) ( )• Hàm s f ( x ) xác ñ nh và có liên t  )  ( ( ) c trên n a ño n a;b hay a;b  thì f x xác ñ nh trênkho ng (a;b ) .• Hàm s có th không ñ t giá tr l n nh t ho c nh nh t trên m t t p h p s th c cho trư c . x ∈a ;b    ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}• max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b x ∈a ;b   • min f ( x ) = min {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )} 1 2 i x ∈a ;b    x ∈a ;b    ∀x ∈ D, f x ≤ M • M = max f x ⇔  ( ) ( ) x ∈D  ( ) ∃x 0 ∈ D, f x 0 = M ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m • m = min f ( x ) ⇔  ∃x ∈ D, f ( x ) = m x ∈D  0 0 CÁC BÀI TOÁN CƠ B NVí d 1: 1 1 1 1 2001 Ch ng minh r ng : + + + ... + < 3(1 + 2) 5( 2 + 3) 7( 3 + 4) 4003( 2001 + 2002) 4006Gi i : 1 ( n + 1 − n) n +1 − n 1 1 1 Xét : = < =  −  (2n + 1)( n + n + 1) 4n 2 + 4n + 1 2 n(n + 1) 2 n n +1 1 1 1 1 1 1  1 1 V y : Sn < 1 − + − + ... + −  = 1 −  2 3 3 5 n n  2 n +1 2 2 2 n2Sn < 1 − Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p tVí d 2: Cho x 1, x 2, x 3, x 4 ..., x 2008 tho mãn x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1Gi i :V n d ng b t ñ ng th c a − b ≥ a − b . D u = x y ra khi ab ≥ 0  x1 − 1 ≥ x1 − 1   x2 − 1 ≥ x2 − 1  ....................... x − 1 ≥ x 2008 − 1  2008 ⇒ E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1 ≥ x 1 + x 2 + ... + x 2008 − 1 + 1 + ... + 1 2008 so 1 Hay E ≥ 2009 − 2008 = 1 x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0  D u = x y ra khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009  x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0 V y min E = 1 khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 Ví d 3: Tìm GTNN c a bi u th c P (x , y ) = x + y − 2x + 2y + 7 . 2 2Gi i :Ta có P (x , y ) = (x − 1) + (y + 1) + 5 ≥ 5 ∀x , y ∈ ℝ 2 2 x = 1 D u = x y ra khi  y = 1  ( ) ( )V y min P (x , y ) = 5 khi x , y = 1;1Ví d 4: Cho 2x + 2y − z − 9 = 0 . Tìm GTNN c a bi u th c P = (1 − x ) + (2 − y ) + (3 − z ) . ...