GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phương trình vi phân cấp 1 Tìm nghiệm của phương trình y = f(x, y) trên với a ≤ x ≤ b, với điều kiện y(a) = y0. Cách giải xấp xỉ: Cho n là số tự nhiên dương. Ký hiệu: h =(b – a)/n, xk = x0 + kh, fk = f(xk, yk) , k = 1..n. Ví dụ: y = cosx + 2siny, 0 ≤ x ≤ 0.4, y(0) = 1, n = 4 ⇒ h = 0.1.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Wednesday, May 09, 2012 Người viết: Ôn Ngũ Minh GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN1. Phương trình vi phân cấp 1 Tìm nghiệm của phương trình y = f(x, y) trên với a ≤ x ≤ b, với điều kiện y(a) = y0. Cách giải xấp xỉ: Cho n là số tự nhiên dương. Ký hiệu: h =(b – a)/n, xk = x0 + kh, fk = f(xk, yk) , k = 1..n. Ví dụ: y = cosx + 2siny, 0 ≤ x ≤ 0.4, y(0) = 1, n = 4 ⇒ h = 0.1.1.1 Phương pháp Euler a. Phương pháp Euler ƒ y0 là giá trị khởi tạo đã cho, ƒ Với k = 0..n-1: yk+1 = yk + hfk. Sai số là O(h). Với ví dụ trên, ta lập bảng như sau: k 0 1 2 3 4 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y 1 1.268 1.559 1.857 2.144 Sử dụng máy tính Casio: Đặt cấu hình về radian. 0.1→M 0→X 1→Y Y+M(cosX+2sinY)→Y (1) Ghi kết quả vào bảng mỗi khi thực hiện lệnh này, X+M→X (2) Lặp lần lượt hai lệnh (1) và (2) cho tới khi điền đầy bảng. b. Phương pháp Euler cải tiến ƒ y0 là giá trị khởi tạo đã cho, ƒ Với k = 0..n-1, lặp quá trình sau: yk+1(0) = yk + hfk, yk+1(m+1) = yk + h/2*(fk + f(xk+1, yk+1(m))), m = 0, 1, 2, ... Dừng khi | yk+1(m+1) – yk+1(m)| < ε. Sai số làm tròn là O(h2). Với ví dụ trên, ta lập bảng như sau: k 0 1 2 3 4 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y 1.000 1.280 1.575 1.867 2.141 f(x,y) 2.683 2.911 2.980 2.868 2.605 1.268 1.571 1.873 2.154 1.279 1.575 1.867 2.140 1.280 1.575 1.867 2.141 1.280 2.141 Sử dụng máy tính Casio: Đặt cấu hình về radian. 0.1→M Giá trị của h = 0.1 0→X 1→Y cosX+2sinY→F (1) Giá trị f(x, y) này được dùng nhiều lần Y+MF→D (2) D là yk+1(0) Y+M÷2(F+cos(X+M)+2sinD)→D (3) D là yk+1(m+1), lặp liên tiếp D→Y (4) Giá trị yk+1(m+1) đã thỏa mãn sai số X+M→X (5) Tăng XLệnh (3) được lặp cho đến khi 2 giá trị liên tiếp của M bằng nhau. Sau khi thực hiện lệnh (5) thìquay về lệnh (1).1.2 Phương pháp Runge – Kutta a. Phương pháp Runge – Kutta thứ nhất ƒ y0 là giá trị khởi tạo đã cho, ƒ Với k = 0..n-1: a = hfk, b = hf(xk + h/2, yk + a/2) , yk+1 = yk + b. Sai số làm tròn là O(h2). Với ví dụ trên, ta lập bảng như sau: k 0 1 2 3 4 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y 1.000 1.281 1.578 1.872 2.146 a 0.268 0.291 0.298 0.287 b 0.281 0.297 0.294 0.274 Sử dụng máy tính Casio: Đặt cấu hình về radian. 0.1→M Giá trị của h = 0.1 0→X 1→Y M(cosX+2sinY)→A (1) M(cos(X+M÷2)+2sin(Y+A÷2))→B (2) Y+B→Y (3) X+M→X (4)Lặp lại từ lệnh (1). b. Phương pháp Runge – Kutta thứ hai ƒ y0 là giá trị khởi tạo đã cho, ƒ Với k = 0..n-1: a = hfk, b = hf(xk+ h, yk + a), yk+1 = yk + (a + b)/2, k = 0..n-1. Sai số làm tròn là O(h2). Với ví dụ trên, ta lập bảng như sau: k 0 1 2 3 4 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y 1.000 1.281 1.577 1.871 2.146 a 0.268 0.291 0.298 0.287 b 0.281 0.297 0.294 0.275 Sử dụng máy tính Casio: Đặt cấu hình về radian. 0.1→M Giá trị của h = 0.1 0→X 1→Y M(cosX+2sinY)→A (1) M(cos(X+M)+2sin(Y+A))→B (2) Y+(A+B) ÷2→Y (3) X+M→X (4)c. Phương pháp Runge – Kutta thứ ba ƒ y0 là giá trị khởi tạo đã cho, ƒ Với k = 0..n-1: a = hfk, b = hf(xk + h/2, yk + a/2), c = hf(xk + h, yk + 2b - a) yk+1 = yk + (a + 4b + c)/6, k = 0..n-1. Sai số làm tròn là O(h3).Với ví dụ trên, ta lập bảng như sau: ...