Giải hệ thống PT ĐSTT

Phương pháp Gaoxơ là một phương pháp được dùng phổ biến đểgiải hệ thống phương trình (3.1) khi ma trận hệ số A không có đặcđiểm gì (trừ điều kiện không suy biến). Đặc biệt, người ta thườngdùng phương pháp này khi ma trận hệ số A “đầy”.Để đơn giản việc trình bày, xét hệ thống 4 phương trình 4 ẩn số
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải hệ thống PT ĐSTTBáo Cáo Chương Lưu Hoàng em – DH7A2 Đại học An Giang• ĐẶT VẤN ĐỀ• PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP: PHƯƠNG PHÁP GAOXƠ (HAY PHƯƠNG PHÁP KHỬ)• NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP BÀI 1. ĐẶT VẤN ĐỀTrong chương này, ta xét giải hệ thống phương trình đại sốtuyến tính (pt đstt) n pt n ẩn.  a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = a1n+1 a x + a x + a x + ... + a x = a  21 1 2 n +1 22 2 23 3 2n n (3.1)   ... ... ... ... ...  an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + ... + ann xn = ann +1 Muốn giải hệ thống pt này bằng pp Crame thì khối lượngtính rất lớn khi n lớn. Vì vậy, người ta phải xây dựngnhững pp sao cho khối lượng tính có thể thực hiện đượckhi n lớn.Những pp giải hệ thống pt (3.1) được chia làm 2 loại:những pp trực tiếp và những pp lặp.Việc chọn pp giải phụ thuộc vào đặc điểm cảu ma trậnhệ số A của hệ.Việc chọn không phải là một nguyên tắc cứng nhắc,không phải không có những trường hợp ngoại lệ. BÀI 2. PHƯƠNG PHÁP GAOXƠ2.1. Nội dung pp2.2. Sơ đồ tính2.3. Kiểm tra quá trình tính2.4. Khối lượng tính2.5. Sai số của pp Gaoxơ2.6. PP Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất2.7. Tính định thức bằng pp Gaoxơ2.8. Tính ma trận nghịch đảo bằng pp Gaoxơ2.9. Chuẩn của ma trận và chuẩn của pp vectơ2.10. Sự không ổn định của hệ thống pt đstt 2.1. Nội dung pp Phương pháp Gaoxơ là một phương pháp được dùng phổ biến đểgiải hệ thống phương trình (3.1) khi ma trận hệ số A không có đặcđiểm gì (trừ điều kiện không suy biến). Đặc biệt, người ta thườngdùng phương pháp này khi ma trận hệ số A “đầy”. Để đơn giản việc trình bày, xét hệ thống 4 phương trình 4 ẩn số sau: a11(0) x1 + a12 (0) x2 + a13(0) x3 + a14 (0) x4 = a15(0) (0) a21 x1 + a22 (0) x2 + a23(0) x3 + a24 (0) x4 = a25(0) (3.4) (0) a31 x1 + a 32 (0) x2 + a33(0) x3 a34 x4 = a35 (0) (0)a41(0) x1 + a42 (0) x2 + a43(0) x3 + a44 (0) x4 = a45(0) Nội dung cơ bản của PP Gaoxơ là khử dần các ẩn số đểđưa hệ (3.4) về hệ “tam giác” tương đương (ma trận hệ sốcủa hệ là ma trận tam giác trên):  x1 + a12 (1) x2 + a13(1) x3 + a14 (1) x4 = a15(1)  x2 + a23(1) x3 + a24 (1) x4 = a25(1)  (3.5)  x3 + a34 x4 = a35 (1) (1)   x4 = a45(1)  Sau đó giải hệ (3.5) từ dưới lên trên. Quá trình đưa hệ (3.4) về hệ (3.5) gọi là quá trình thuận, quá trình giải hệ (3.5) gọi là quá trình ngược. a) Quá trình thuận Khử x1 . Giả sử a11 ≠ 0 (a11 gọi là trụ thứ nhất). Chia (0) (0) phương trình đầu của hệ (3.4) cho a11(0) , ta nhận được: x1 + a12 (1) x2 + a13(1) x3 + a14 (1) x4 = a15(1) (3.6) (aij(1) = aij(0) , j = 2,3, 4,5) Dùng pt (3.6) khử x1 trong ba pt còn lại của hệ (3.6). Muốnthế, đem pt thứ hai của hệ (3.4) trừ pt (3.6) đã nhân vớia21(0)đem phương trình thứ ba của hệ (3.4) trừ phương trình (3.6) đã av (0)nhân 31ới đem phương trìng thứ tư của hệ (3.4) trừ phươngtrình (3.6) đã nhân với a41(0) Kết quả nhận được hệ ba phương trình sau:a22 (1) x2 + a23(1) x3 + a24 (1) x4 = a25(1) (1) a32 x2 + a33(1) x3 + a34 (1) x4 = a35(1) (3.7)a (1) x + a (1) x + a (1) x = a (1) 42 2 43 3 44 4 45(aij(1) = aij(0) − a11(0) aij(1) , i = 2,3, 4; j = 2,3, 4,5) a22 (1) ≠ 0( a22 (1) gọi là trụ hạng thứ hai). Khử x2 . Giả sửChia pt đầu của hệ (3.7) cho , ta được: a22 (1) x2 + a23(2) x3 + a24 (2) x4 = a25(2) (3.8) (a2 j (2) = a2 j (1) / a22 (1) , j = 3, 4,5). Đem phương trình thứ hai của hệ (3.7) trừ phương trình (1) avới .(3.8) đã nhân 42Kết quả nhận được hệ hai phương trình sau:  a33(2) x3 + a34 (2) x4 = a35(2) ( 3.9 )  (2) a43 x3 + a44 (2) x4 = a45(2)  (aij(2) = aij (1) − ai 2(1) a2 j (2) , i = 3, 4; j = 3, 4,5) Khử x3 . Giả sử a33 ≠ 0(a33 gọi là trụ thứ ba). Chia pt (2) (2) đầu của hệ (3.9) cho a33(2) và đem pt thứ hai của hệ (3.9) trừ pt vừa nhận được đã nhân với a43(2) ,ta được: x3 + a34 (3) x4 = a35(3) ( 3.10 ) ( 3.11) a44 (3) x4 = a45(3) (a3 j (3) = a3 j (2) / a33(2) , a4 j (3) = a4 j (2) − a43(2) a3 j (3) , j = 4,5) Cuối cùng nếu a44 ≠ 0 (a44 gọi là trụ thứ tư), ta (3) (3)chia pt (3.11) cho a44 (3) , pt (3.11) có dạng: x4 = a45(4) ( 3.12 ) ...