Giải phương trình Đại số có dạng đặc biệt nhờ phương pháp lượng giác hóa

Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không. Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Giải phương trình Đại số có dạng đặc biệt nhờ phương pháp lượng giác hóa để tìm ra cho mình phương pháp giải nhanh nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải phương trình Đại số có dạng đặc biệt nhờ phương pháp lượng giác hóa PHƯƠNGPHÁPLƯỢNGGIÁCHÓAMỘTSỐPHƯƠNGTRÌNHĐẠISỐ GIẢIPHƯƠNGTRÌNHĐẠISỐCÓDẠNGĐẶCBIỆT NHỜPHƯƠNGPHÁPLƯỢNGGIÁCHÓA Khigặpcácphươngtrìnhđạisốđạisốrấtkhógiải,khiđóchúngtaxemcóthểthayđổihìnhthứccủabàitoán(thườngthôngquaphươngpháp ẩnphụ)để thuđượcnhữngphươngtrìnhđơngiảnhơnhay không!Trongmộtsố trườnghợptacóthể chuyểnphươngtrìnhđạisố thànhphươngtrìnhlượnggiácthôngquacácdấuhiệuđặcbiệtcủacácbiểuthứcchứaẩncómặttrongPTvàthôngquamiềngiátrịcủachúng.ICÁCBIỂUTHỨCTHƯỜNGĐƯỢCLƯỢNGGIÁCHÓA BIỂUTHỨCĐẠISỐ CÁCHCHỌNẨNPHỤ a2 − x2 π π x = a sin t ; − t hoặc x = a cos t ;0 t π 2 2 x2 − a2 a �π π � a π x= − ; �\ { 0} hoặc x = ; t �� ;t [ 0; π ] \ � �� � sin t � 2 2� cos t �2 a2 + x2 π π x = a tan t ; − < t < ; hoặc x = a cot gt ;0 < t < π ; 2 2 2 2 �ax � �bx � c.sin t � �+ � �= 1 x= �c � �c � a ; ∀t [ 0 ; 2π ] c.cos t y= a 4 x3 − 3x x = cos t ; 0 t π (giống 4 cos3 t − 3cos t cos3t ) 2 x2 −1 x = cos t ; 0 t π (giống 2 cos 2 t − 1 cos2t ) 2x 2 tan t −π π (giống tan 2t ) x = tan t ; PHƯƠNGPHÁPLƯỢNGGIÁCHÓAMỘTSỐPHƯƠNGTRÌNHĐẠISỐ +ĐK: 1 x 1 ẩnphụ x cos với 0 . +Khiđó 1 − x = sin ϕ ; sin ϕ �0 � sin ϕ = sin ϕ 2 +Tacóphươngtrình: cos3ϕ + sin 3 ϕ = 2 sin ϕ.cosϕ � ( sin ϕ + cosϕ ) ( 1 − sin ϕ .cosϕ ) = 2 sin ϕ.cosϕ � π� +Đặt u = sin ϕ + cosϕ = 2 sin � ϕ+ � � 4� π π 5π 2 � π� +Vì: 0 �ϕ+� π−�� + ϕ �� ϕ sin � � 1 � −1 �u � 2 4 4 4 2 � 4� +Thugọnphươngtrìnhtheoẩnutađược: (u − 2)(u 2 + 2 2u + 1) = 0 (*) +PT(*)cócácnghiệmlà: u = 2 ; u = − 2 + 1 ; u = − 2 − 1 < − 2 (loại) π 2 +Với u = 2 � ϕ = + k 2π (k �Z ) � x = 4 2 u −1 2 +Vơi u = sin ϕ + cosϕ =1 2 � sin ϕ .cosϕ = = 1− 2 2 Vậy sin ϕ , cosϕ lànghiệmPT: t 2 − (1 − 2)t + 1 − 2 = 0 � t = − 2 + 1 ( 2 − 1)(3 + 2) 2 +Vì sin ϕ �0 � cosϕ = 2 + 1 − ( 2 − 1)(3 + 2) = x 2 và x = 2 + 1 − ( 2 − 1)(3 + 2) 2 VậyPTđãchocó2nghiệmlà: x = 2 2 x x 1 + a2 � � � 1 − a2 �Vídụ2:Giảiphươngtrình: � − � � �= 1 v ...