Giải tích ( Cơ sở )

Giải tích ( Cơ sở ) - Phần 3: Đo độ và tích phân
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích ( Cơ sở ) GI I TÍCH (CƠ S ) Ph n 3. Đ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán §1. Đ Đo (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 18 tháng 4 năm 20051 PH N LÝ THUY T 1. Không gian đo đư c Đ nh nghĩa : 1) Cho t p X = ø; m t h F các t p con c a X đư c g i là m t σ −đ i s n u nó th a mãn các đi u ki n sau : i. X ∈ F và n u A ∈ F thì Ac ∈ F , trong đó Ac = X A. ii. H p c a đ m đư c các t p thu c F cũng là t p thu c F . 2) N u F là σ −đ i s các t p con c a X thì c p (X, F ) g i là m t không gian đo đư c ; m i t p A ∈ F g i là t p đo đư c (đo đư c v i F hay F − đo đư c) Tính ch t Gi s F là σ −đ i s trên X . Khi đó ta có : 1) ø ∈ X . Suy ra h p c a h u h n t p thu c F cũng là t p thu c F . 2) Giao c a h u h n ho c đ m đư c các t p thu c F cũng là t p thu c F . 3) N u A ∈ F , B ∈ F thì A B ∈ F . 2. Đ đo Đ nh nghĩa : Cho m t không gian đo đư c (X, F ) 1) M t ánh x µ : F −→ [0, ∞] đư c g i là m t đ đo n u : i. µ(ø) = 0 ii. µ có tính ch t σ −c ng, hi u theo nghĩa ∞ ∞ ∀{An }n ⊂ F, (An ∩ Am = ø, n = m) ⇒ µ( An ) = µ(An ) n=1 n=1 2) N u µ là m t đ đo xác đ nh trên σ −đ i s F thì b ba (X, F, µ) g i là m t không gian đ đo 1 Tính ch t : Cho µ là m t đ đo xác đ nh trên σ −đ i s F ; các t p đư c xét dư i đây đ u gi thi t là thu c F . 1) N u A ⊂ B , thì µ(A) ≤ µ(B ), hơn n a n u µ(A) < ∞ thì ta có µ(B A) = µ(B ) − µ(A) ∞ ∞ An ) ≤ 2) µ( µ(An ). n=1 n=1 ∞ Do đó, n u µ(An ) = 0 (n ∈ N∗ ) thì µ( An ) = 0 n=1 ∞ (n ∈ N∗ ) thì µ( 3) N u An ⊂ An+1 An ) = lim µ(An ) n→∞ n=1 ∗ 4) N u An ⊃ An+1 (n ∈ N ) và µ(A1 ) < ∞ thì ∞ µ( An ) = lim µ(An ) n→∞ n=1 Quy ư c v các phép toán trong R Gi s x ∈ R, a = +∞ ho c a = −∞. Ta quy ư c : 1) −∞ < x < +∞ 2) x + a = a, a + a = a a, n ux>0 a.a = +∞, a.(−a) = −∞ 3) x.a = , −a , n u x < 0 x =0 4) a ax∞ Các phép toán a − a, 0.a, , , không có nghĩa. 00∞ Khi th c hi n các phép toán trong R ta ph i h t s c c n tr ng. Ví d , t x + a = y + a không suy ra đư c x = y (n u a = ±∞). Đ nh nghĩa Đ đo µ xác đ nh trên σ −đ i s F các t p con c a X đư c g i là : 1) Đ đo h u h n n u µ(X ) < ∞. 2) Đ đo σ − h u h n n u t n t i dãy {An } ⊂ F sao cho ∞ µ(An ) < ∞ ∀n ∈ N∗ X= An , n=1 3) Đ đo đ n u nó có tính ch t (A ⊂ B ; B ∈ F, µ(B ) = 0) ⇒ A ∈ F3. Đ đo Lebesgue trên R T n t i m t σ −đ i s F các t p con c a R mà m i A ∈ F g i là m t t p đo dư c theo Lebesgue (hay (L)− đo đư c) và m t đ đo µ xác đ nh trên F (g i là đ đo Lebesgue trên R ) th a mãn các tính ch t sau : 1) Các kho ng (hi u theo nghĩa r ng), t p m , t p đóng, ... là (L)−đo đư c. N u I là kho ng v i đ u mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ t) thì µ(I ) = b − a 2) T p h u h n ho c đ m đư c là (L)−đo đư c và có đ đo Lebesgue b ng 0. 2 3) T p A ⊂ R là (L)−đo đư c khi và ch khi v i m i ε > 0, t n t i t p đóng F , t p m G sao cho F ⊂ A ⊂ G, µ(G F ) < ε 4) N u A là t p (L)−đo đư c thì các t p x + A, xA cũng là (L)−đo đư c và : µ(xA) = |x|µ(A) µ(x + A) = µ(A) 5) Đ đo Lebesgue là đ , σ − h u h n2 PH N BÀI T P 1. Bài 1 Cho không gian đ đo (X, F, µ), t p Y = ø và ánh x ϕ : X −→ Y Ta đ nh nghĩa : ...