Giáo án đại số đại cương

Giáo án đại số đại cương - Chương 1: Nhóm và nửa nhóm
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo án đại số đại cương Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 1. NỬA NHÓMMỤC ĐÍCH YÊU CẦU: Sinh viên nắm được khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhậnbiết các khái niệm trên trong các trường hợp cụ thể. Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập .1.1.Phép toán hai ngôi:Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường. Ta thấy: ∀ a, b∈ N luôn có: a+b = c ∈ N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ đượckhông? Hãy lập ánh xạ đó. ( +: NxN → N (a,b) c ) 2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phépnhân trong N ? T: NxN → N (a,b) c= ab ) các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi.Định nghĩa 1: SGK(37) Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếukhông có lý do nào khiến ta phải viết khác.Định nghĩa 2: sgk(38) A ⊂ X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. ⇔ ∀ x,y ∈ A → xy ∈ A .(Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinhtrên A )t Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ? Định nghĩa 3: Tr 38. Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính là một trong hai phần tử đó ?+: NxN → N . : NxN → N T: NxN → N (a , 1) a1=a (a,o ) a (a , 1) aĐịnh nghĩa 4: tr 39 Hãy cho nhận xét trong các phép toán nêu trên cái nào có phần tử đơn vị trái, phải? Một phép toán vừa có đơn vị trái, vừa có đơn vị phải thì phần tử đơn vị trái và đơn vị phải có quan hệ gì với nhau? Hãy chứng minh? ( tr 39).Định lý1: tr39.Hệ quả: tr39.1.2.Nửa nhóm:Định nghĩa 5: tr39 1 Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minhơ Hãy chỉ ra trong các ví dụ trên tập N với các phép toán nào là một nửa nhóm ? ( trừ phép mũ hoá- phép toán trừ ).∗ Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinhtrên A là một nửa nhóm. Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X. Trong một nửa nhóm X: Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó.Tổng quát : x1x2…..xn-1xn = (x1x2…..xn-1)xn gọi là tích của n phần tử lấy theothứ tự đó.Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40.Định nghĩa 6: X là nửa nhóm:n ∈ N, n ≠ 0 ∀ a ∈ X ; an gọi là tích của n phần tử bằng a.Do tính kết hợp ta có: am.an = a m+ n ; (am)n = am.n ( Sinh viên tự CM)ự Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi là bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng:( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a )Định lý 3: tr41.ị Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42.∗ Bài tập: 1 → 5 tr 42-43. 2 Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh BÀI TẬP CHƯƠNG 1Trang 42:Bài 1: X là nửa nhóm. a ∈ X ; b ∈ Xsao cho: ab = ba. a) CMR: (ab)n = anbn ∀ n > 1 ; n ∈ N b) Nếu (ab)2 = a2b2 thì có suy ra được ab = ba không ?Bàigiải: a).Quy nạp theo n: ạ Với n = 1 ta có ab = ba. Giả sử với m = n-1 có: (ab)n-1 = an-1bn-1ớ Ta CM đúng với m = n.nCó (ab) = (ab)n-1(ab) = an-1bn-1(ab) = an-1(bn-1b)a =an-1bna. n (1)Như vậy nếu có b a = ab thì từ (1) suy được ra điều phải CM. Ta đi CM điều n nđó: Bằng quy nạp theo n: - Với n =1 ta có ab = ba - Với m = n-1 giả sử có : an-1b = ban-1 - Ta CM đúng với m = n. Có : a n b = a(an-1b) = a(ban-1) = a(an-1b) = (aan-1)b = anb (2)áp dụng (2) vào (1) ta có ĐPCM. b). Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. Chẳng hạn ∀ a, b ∈ X : a ≠ bXét nửa nhóm X với phép toán ab = a ∀ a,b ∈ X. Ta có : a2 = a , b2 = b , ab = a , a2b2 = a2 = a . Nên: (ab)2 = a = a2b2 Nhưng: ab = a ≠ ba = b.Bài 2: Gọi X là tập thương Z/nZ = { 0 , 1 ,... n − 1 } ; ( a ≡ b (modn) . a và b chiacho n có cùng số dư. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp ( a , b ) cho tươngứng với lớp tương đương a + b . a). CM R có một ánh xạ từ X2 đến X b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a) c) Nếu với mỗi cặp ( a , b ) cho tương ứng với lớp ab Thì X cũng là mộtvị nhóm giao hoán.Bàigiải: a).Ta CM tương ứng ( a , b ) → a + b . Không phụ thuộc vào các đạidiện a, b của các lớp tương đương a , b . Nếu a = a thì: a - a’ chia hết cho n Nếu b = b thì: b-b’ chia hết cho nSuy ra: (a+b)-(a’+b’) cũng chia hết cho n hay a + b = a + b Vậy ta có ĐPCM. b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X2 → X 3 Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh ( a, b ) → a +b= α Kiểm tra t/c kết hợp: ∀ a , b , c :Phần tử không là : 0 . c) Sinh viên tự CM.Bài 3: X là tập tuỳ ý. Xét ánh xạ:T: X.X → X (x,y) → x.CMR: X là một nửa nhóm đối với phép toán trên. Nửa nhóm đó có giao hoánkhông ,có phần tử đơn vị không?Bàigiải: ∀ x, y, z ∈ X ta có: xT(yTz) = xYy = x (xTy)Tz = xTz = x Vậy: xT(yTz) = (xTy)Tz Nên X là nửa nhóm.Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. ∀ x, y ∈ X, x ≠ y ta cóxTy = x ≠ yTx =y nên X không giao hoán.Không có đơn vị vì: giả sử e là đơn vị thì: eTx = e ≠ x ∀ x ∈ X.Bài 4: Gọi X là tập thương của ZxN* trên quan hệ tương đương S xác định bởi:(a,b) S(c,d) ad = bc . Ta ký hiệu các phần tử C(a,b ...