Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3

Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫunhiên) (ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗikết quả của phép thử cho một số với một xácsuất nào đó.Luật số lớn Bernoullo cho ta cơ sở định nghĩa xác suất theo thống kê
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 32.5 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm2.5.1 Khái niệm hội tụ của dãy ngẫu nhiên Cho dãy X1 , X 2 ,..., X n ,... và X là các ĐLNN. a) Dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn về X, ký h.c.c hiệu , nếu Xn X P � Xn = X� 1 = lim � � n b) Dãy (X n ) hội tụ theo trung bình toàn phương L2 về X, ký hiệuX n X , nếu lim M ( X n − X ) = 0 2 nc) Dãy (X n ) hội tụ theo xác suất về X, ký hiệu P , nếu Xn X lim P � n − X ε � 0 = ∀ε > 0 X � � nd) Dãy (X n ) hội tụ theo phân phối về X, ký hiệu F X Xn , rong các trường hợp sau (X nt) F X nvà X đều rời rạc có cùng tập X - Rời rạc: giá�ị limthì[ X = x ] = P [ X = x ] ∀x � tr T P T n n - Liên tục: X liên tục, còn(X n ) tùy ý thì Xn F X � lim P [ X n < x ] = P [ X < x ] ∀x �ﾡ nhay lim FX n (x) = FX (x) ∀x ﾡ n 2.5.2 Luật số lớn a) Bất đẳng thức Chebyshev: Nếu ĐLNN X có kỳ vọng M(X) và phương sai D(X) hữu hạnP � − M(X) ε � D(X) , ∀ε > 0 thìX � � ε2b) Luật số lớn Chebyshev: Nếu dãy ĐLNN X1 , X 2 ,..., X n ,... độc lậptừng đôi, có phương sai D(X n ) C, ∀n thì �n 1n �P 1 � � i −n� X M(X i ) � 0 n � i=1 � i =1* Hệ quả (luật số lớn Bernoulli): Nếu f n (A) là tần suất xuất hiện biến cốA trong dãy n phép thử độc lập với p(A)=p f n (A) P p(A) = pthì* Ý nghĩa: Luật số lớn Bernoulli cho ta cơ sởđịnh nghĩa xác suất theo thống kê.2.5.3 Định lý liên hệ giữa siêu bội và nhị thức Nếu X H(N, N A , n) , n cố định, còn N NAtăngvô hạn và tỷ lệ N tiến tới một giới hạn p F X B(n, p)khác 0 hay 1, thì X thực hành:* Ý nghĩa trongH(N, N A , n) X B(n,nếu N p = N An, N. khá lớ / n , p) a. Chorất nhỏ so với N thì với b. Khi N khá lớn so với n thì việc lấy nphần tử trong N phần tử theo phương thức cóhoàn lại hay không hoàn lại là như nhau. VD 2.26: Một công ty XNK nhập 5000thùng hóa chất, trong đó có 1000 thùng kémchất lượng. Công ty này phân phối ngẫunhiên cho một cửa hàng 10 thùng (không hoànlại). Tìm xác suất để cửa hàng này nhậnđược 3 thùng hóa chất kém chất lượng.2.5.4 Định lý giới hạn Poisson n Cho X B(n, p) . Nếu số phép np = λthử , còn xác suất thắng lợi P(A) 0 P(λthì Fsao X ). cho* Ý nghĩa trong thực hành: Nếu X B(n, p) với n khá lớn, p khá bé λ = np.thì�P(λ )X với VD 2.27: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là0,1%. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp có hoàn lại1000 hạt. Tính xác suất để có đúng 2 hạt lép.2.5.5 Định lý giới hạn Moivre-Laplace (giáo trình trang 105-107). * Ý nghĩa trong thực hành: Nếu X B(n, p) với n đủ lớn, p không quá gần 0 và 1 thì ( ) ( ) 1 2 X �N np, npq , P[X = k] � f (t k ) npq t2 k − np 1 −2 và f (t) = với t k = e là hàm m ật 2π npq độ pp chuẩn N(0,1) (tra bảng A)VD 2.28: Một nhà máy sản xuất với tỷ lệloại 1 là 20%. Cho máy sản xuất 100 sảnphẩm. Tính xác suất để trong 100 sản phẩmđó có a) 19 sản phẩm loại 1. b) không ít hơn 19 sản phẩm loại 1.VD 2.29: Trong một thị trấn có 40% ngườidân nghiện thuốc lá. Chọn ngẫu nhiên 300người dân (các lần chọn độc lập) để phỏngvấn. Tính xác suất để trong 300 người dânđược chọn có không quá 140 người nghiệnthuốc lá.2.5.5 Định lý giới hạn trung tâm Nếu dãy các ĐLNN X1 , X 2 ,..., X n ,... cùngphân phối xác suất vớiM(X n ) = µ, D(X n ) = σ 2 thì 1n Xi − µ n i=1 Sn = F N(0,1) σ nNhư vậy, với n đủ lớn n 30) , có thể xem ( n X i �N(nµ, nσ ). 2 i =1 VD 2.30: Trọng lượng của một loại sảnphẩm là ĐLNN có trung bình 50g, độ lệchtiêu chuẩn 10g. Các sản phẩm được đóngthành hộp, mỗi hộp 100 sản phẩm. Hộp cótrọng lượng trên 4,85kg là đạt tiêu chuẩn.Tính tỷ lệ hộp đạt tiêu chuẩn.Kiểm tra giữa kỳ ...