Giáo trình Điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

Nội dung chương này nhằm giải quyết hai vấn đề: Xác định mô hình toán học cho các phần tử, và xác lập mối liên kết giữa các mô hình toán học riêng thành một mô hình toán học chung cho toàn bộ hệ thống. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục Chöông 2 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC PHAÀN TÖÛ VAØ HEÄ THOÁNG LIEÂN TUÏC Noäi dung chöông naøy nhaèm giaûi quyeát hai vaán ñeà: - Xaùc ñònh moâ hình toaùn hoïc cho caùc phaàn töû. - Xaùc laäp moái lieân keát giöõa caùc moâ hình toaùn hoïc rieâng thaønh moät moâ hình toaùn hoïc chung cho toaøn boä heä thoáng. Heä thoáng ñieàu khieån trong thöïc teá raát ña daïng. Caùc phaàn töû cuûa heä thoáng coù theå laø cô, ñieän, nhieät, thuyû löïc, khí neùn,... Ñeå nghieân cöùu caùc heä thoáng coù baûn chaát vaät lyù khaùc nhau chuùng ta caàn döïa treân moät cô sôû chung laø toaùn hoïc. Khi nghieân cöùu heä thoáng tröôùc heát chuùng ta caàn bieát heä thoáng goàm nhöõng thieát bò gì, coù nhöõng phaàn töû naøo vaø tìm caùch moâ taû chuùng baèng caùc moâ hình toaùn hoïc. Moâ hình caàn phaûi ñaûm baûo ñoä chính xaùc nhaát ñònh, phaûn aùnh ñöôïc caùc tính chaát ñaëc tröng cuûa heä thoáng thöïc, nhöng ñoàng thôøi phaûi ñôn giaûn cho vieäc bieåu dieãn, phaân tích. Trong nhieàu tröôøng hôïp, ñeå coù moät moâ hình toaùn töông ñoái ñôn giaûn, chuùng ta phaûi xem xeùt boû qua moät vaøi thuoäc tính vaät lyù ít quan troïng trong heä thoáng vaø lyù töôûng hoaù moät soá hieän töôïng vaät lyù thöïc teá. Ñeå moâ taû phaàn töû vaø heä thoáng tuyeán tính baát bieán lieân tuïc ngöôøi ta thöôøng duøng caùc daïng moâ hình toaùn hoïc sau ñaây : - Phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng. - Haøm truyeàn - Phöông trình traïng thaùi. Hai daïng moâ hình phöông trình vi phaân vaø haøm truyeàn thích hôïp vôùi heä SISO. Moâ hình phöông trình traïng thaùi ñaëc bieät thích hôïp vôùi heä MIMO. 2.1 Moâ hình phöông trình vi phaân Toång quaùt, moái quan heä giöõa tín hieäu vaøo r(t) vaø tín hieäu ra y(t) cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán lieân tuïc coù theå moâ taû baèng phöông trình vi phaân : d n y(t) d n −1 y(t) d m r(t) d m −1 r(t) an + a n −1 + ... + a y(t) = b + b m −1 + ... + b 0 r(t) dt n −1 dt m −1 0 m dt n dt m (2-1) Trong ñoù: ai , bi laø caùc haèng soá, ñöôïc xaùc ñònh töø thoâng soá cuûa caùc phaàn töû . Soá muõ n laø baäc cuûa heä thoáng. Heä thoáng coù m ≤n ñöôïc goïi laø heä thoáng hôïp thöùc. Chæ coù caùc heä thoáng hôïp thöùc môùi toàn taïi trong thöïc teá. Moâ hình phöông trình vi phaân ñöôïc xaây döïng theo phöông phaùp lyù thuyeát, töùc laø ñöôïc thieát laäp döïa treân caùc ñònh luaät vaät lyù bieåu dieãn caùc quaù trình ñoäng hoïc xaûy ra beân trong vaø caùc quan heä giao tieáp vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi cuûa heä thoáng. 13 - Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû cô khí laø ñònh luaät II Newton, quan heä giöõa löïc vaø bieán daïng, quan heä giöõa ma saùt vaø vaän toác. - Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû ñieän laø ñònh luaät Kirchhoff, quan heä doøng ñieän- ñieän aùp treân ñieän trôû, ñieän caûm, tuï ñieän. - Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû nhieät laø ñònh luaät truyeàn nhieät vaø ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng. - ... Ví duï 2.1. Xaùc ñònh phöông trình vi phaân moâ taû heä cô khí goàm loø xo - khoái löôïng - giaûm chaán coù sô ñoà nhö hình 2.1a. F(t) v m y(t) k Fd b (a) (b) (c) (d) Hình 2.1 Boä giaûm chaán (hình 2.1b) goàm moät xylanh daàu vaø moät piston, moät trong hai thaønh phaàn naøy ñöôïc laép coá ñònh coøn phaàn kia di ñoäng. Khi coù chuyeån ñoäng töông ñoái giöõa piston vaø xylanh, daàu seõ chaûy töø buoàng naøy sang buoàng kia cuûa xylanh qua khe hôû giöõa piston vaø xylanh hoaëc qua moät loã nhoû trong piston. Löïc ñaåy daàu qua khe hôû coù taùc duïng caûn trôû chuyeån ñoäng, ta goïi laø löïc ma saùt nhôùt hay löïc giaûm chaán. Löïc giaûm chaán F d ngöôïc chieàu vaø tæ leä vôùi vaän toác v: Fd = b.v vôùi b laø heä soá ma saùt nhôùt, [N.s/m ] Boä giaûm chaán cuõng ñöôïc bieåu dieãn ñôn giaûn nhö hình 2.1c vaø 2.1d. Giaû söû taïi t=0 heä ñang ôû traïng thaùi caân baèng. Theo ñònh luaät II Newton, ta coù phöông trình caân baèng löïc: d2 y dy m 2 = ∑ Fi = F(t) − b − k.y(t) dt dt Trong ñoù : - Tín hieäu vaøo : löïc F(t) taùc duïng töø beân ngoaøi, [N] - Tín hieäu ra : löôïng di ñoäng y(t) cuûa khoái löôïng m, [m] m : khoái löôïng [kg] b : heä soá ma saùt nhôùt (heä soá giaûm chaán), [N.s/m] k : ñoä cöùng loø xo, [N/m] d2 y dy m 2 : löïc quaùn tính ; b = Fd : löïc giaûm chaán dt dt k.y(t) : löïc loø xo 14 ⇒ Phöông trình vi phaân baäc hai moâ taû quan heä vaøo-ra : ...