Giáo trình Không gian Metric: Phần 1 - TS. Nguyễn Hoàng

Giáo trình Không gian Metric - Phần 1 giới thiệu đến người học các kiến thức về tập hợp số thực, lực lượng của các tập hợp, không gian Metric, khái niệm - bài tập - ánh xạ liên tục của không gian Metric. Tham khảo tài liệu để có kiến thức tổng hợp về Không gian Metric.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Không gian Metric: Phần 1 - TS. Nguyễn Hoàng ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA TS. NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNHKHÔNG GIAN MÊTRIC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH) Huế - 2007 1 MỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................... 3A. KIẾN THỨC BỔ SUNG....................................................................................... 5 § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC ....................................................................................... 5 §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP ............................................................10B. KHÔNG GIAN MÊTRIC....................................................................................16 §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. .................................................................................16 BÀI TẬP...............................................................................................................21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG..............................................................................23 BÀI TẬP...............................................................................................................30 §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC .....................................................................................32 BÀI TẬP...............................................................................................................37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ...............................................................38 BÀI TẬP...............................................................................................................50 §5 KHÔNG GIAN COMPACT ...........................................................................52 BÀI TẬP...............................................................................................................67 §6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG .....................................................................69 BÀI TẬP...............................................................................................................71C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN.............................................................................72 PHẦN A ...............................................................................................................72 PHẦN B ...............................................................................................................73TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 87 2 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trườngĐHSP Huế trong những năm vừa qua. Học phần này có mục đích trang bị nhữngkiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phảinắm được. Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trêntập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận,giới hạn liên tục… được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nócó thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữahai phần tử đó. Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thíchcổ điển đã học trong những năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các họcphần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm… Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thườngchỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưacó một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này. Ở đây, bạnđọc sẽ thấy nhiều bài tập được đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thờicũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết. Phần lớn các bài tập đều có lời giảntóm tắt hoặc chi tiết. Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế vàcũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập. Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm được nhữngkiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luậnlogic toán học. Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tươngđương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đốitượng bằng qui nạp hữu hạn. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làmđược các bài tập. Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệmkhông gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suyluận chủ quan thông thường. Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiếtphải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho cácđịnh nghĩa đó. Như Dieudonne đã nói:... trực quan hình học, cùng với sự đềphòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnhtổng quát… Cuốn sách được chia làm hai phần. Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cáchcó hệ thống các tính chất của tập số thực IR. Sinh viên tăng cường chú ý đến kháiniệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành 3thạo, biên soạn. Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nàothì một tập là đếm được, Phần thứ hai là phần chính của chương trình. Có nhiều con đường để trìnhbày các khái niệm. Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thườngdùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ratên gọi như vậy. Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa. Cáckhái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ,compact… Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiềuthuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng. Vì thế sinhviên nên tìm ...