Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm

Bài giảng Giải tích hàm là bản tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn Giải tích hàm TTH104 tại Khoa Toán–Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Nội dung học phần: không gian mêtríc (nhắc lại), không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục cùng các định lý cơ bản về chúng, không gian Hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 21 tháng 1 năm 2018 1 Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn Giải tích hàm TTH104 tại Khoa Toán–Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Giải tích hàm là một trong những môn quan trọng nhất cho sinh viên toán, nơi sinh viên có những hiểu biết đầu tiên, cơ bản về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này là không thể thiếu cho nhiều chuyên ngành toán cả lí thuyết lẫn ứng dụng. Đây là nơi mà khả năng tiếp thu và sử dụng các lí luận toán học trừu tượng và chính xác bước đầu được rèn luyện và kiểm tra. Phần đông sinh viên học môn này vào học kì thứ tư. Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc (nhắc lại), không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục cùng các định lý cơ bản về chúng, không gian Hilbert. Các chứng minh trong phần bài giảng thường chỉ chứa các ý chính. Một số mệnh đề không có chứng minh. Đây là những chổ dành cho người học bổ sung chi tiết. Dấu X ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng, nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc. Biên soạn: • Đinh Ngọc Thanh, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. • Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Người biên tập hiện nay. Email: hqvu@hcmus.edu.vn Tài liệu này sẽ được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Bản mới nhất có trên web ở địa chỉ: http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.pdf. Mã nguồn (LaTeX) có ở http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.tar.gz. This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/. Mục lục 1 2 3 4 Không gian mêtríc 1.1 Mêtríc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục . . . . . . . . 1.3 Không gian mêtríc con . . . . . . . . . . 1.4 Không gian đầy đủ và không gian compắc 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Không gian định chuẩn 2.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . 2.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 2.4 Không gian ` p . . . . . . . . . . . . . 2.5 Không gian các hàm bị chặn . . . . . 2.6 Không gian L p . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Tóm tắt về độ đo và tích phân 2.6.2 Không gian L p . . . . . . . . 2.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . 2.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ánh xạ tuyến tính liên tục 3.1 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Không gian L(E, F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều 3.4 Tính chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Định lý Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Không gian Hilbert 4.1 Không gian tích trong . . . . . . . . 4.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . 4.3 Phép chiếu vuông góc . . . . . . . . 4.4 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . 4.5 Họ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Không gian Hilbert tách được 4.5.2 Không gian Hilbert bất kì . . 4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier . . . . 4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 7 8 . . . . . . . . . . 10 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 . . . . . . . . 24 24 25 26 27 28 29 30 30 . . ...