Giáo trình kỹ thuật điều khiển 5

Biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển là cơ sở của lý thuyết điều khiển hiện đại và tối ưu hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển và các phương pháp xác định đáp ứng theo thời gian của hệ thống.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình kỹ thuật điều khiển 5 thời gian, t. Biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển là cơ sở của lý thuyết điều khiển hiện đại và tối ưu hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển và các phương pháp xác định đáp ứng theo thời gian của hệ thống. 3.2. Biến trạng thái của một hệ thống động Phương pháp phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển trong miền thời gian sử dụng khái niệm trạng thái của hệ thống. Trong một hệ thống động, trạng thái (state) của hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái (state variables) {x1(t), x2(t),..., xn(t)}. Các biến trạng thái là những biến quyết định hành vi của hệ thống trong trong tương lai khi trạng thái hiện thời của hệ thống và các tín hiệu vào đã được biết. Với một hệ thống như vậy, cho biết các tín hiệu vào và giá trị khởi đầu của các biến trạng thái tại thời điểm t0 là {x1(t0), x2(t0),..., xn(t0)}, chúng ta có thể xác định giá trị của các tín hiệu ra và các biến trạng thái tại bất cứ thời điểm nào trong tương lai. Một ví dụ đơn giản về biến trạng thái là trạng thái của một công tắc ON/OFF. Công tắc có thể ở vị trí ON hoặc OFF nên giá trị của biến trạng thái của công tắc tại mỗi thời điểm sẽ là một trong hai giá trị này. Nếu công tắc đang ở trạng thái OFF và có một tín hiệu vào (nhấn công tắc) thì trạng thái tiếp theo của công tắc sẽ là ON và ngược lại. Xem xét lại ví dụ về hệ thống lò xo-vật-cản trong Hình 2.1, được mô tả bằng phương trình (2.1). Để mô tả hệ thống này bằng phương pháp biến trạng thái, chúng ta chọn hai biến trạng thái là vị trí và vận tốc của vật. Sử dụng hai biến trạng thái x1 và x2: x1(t) = y(t) và x2(t) = dy(t)/dt, phương trình (2.1) có thể viết lại như sau: dx2 (t ) + fx2 (t ) + Kx1 (t ) = F (t ) (3.1) M dt Do vậy, chúng ta có thể biến đổi phương trình vi phân bậc hai (2.1) thành một hệ hai phương trình vi phân bậc nhất: dx1 = x2 dt (3.2) dx2 f K 1 = − x2 − x1 + F (t ) dt M M M Hệ phương trình vi phân này mô tả hành vi của hệ thống bằng tốc độ thay đổi của hai biến trạng thái. Ví dụ thứ hai là một mạch RLC (Hình 3.1). Trạng thái của hệ thống có thể mô tả được bằng hai biến x1 và x2, ở đó x1 là hiệu điện thế vc(t) trên tụ điện và x2 bằng cường độ iL(t) của dòng điện đi qua cuộn cảm. Sự lựa chọn các biến trạng thái này dựa trên việc chúng là hai đại lượng được dùng để xác định năng lượng tích trong mạch: 2 2 Li L + Cvc E= (3.3) 2 45 Vì vậy, x1(t0) và x2(t0) đại diện cho năng lượng tổng cộng của mạng, nghĩa là trạng thái của mạng, tại thời điểm t = t0. Trong một mạng RLC thụ động, số biến trạng thái cần phải bằng số lượng các phần tử tích năng lượng trong mạch. Áp dụng các định luật Kirchhoff cho dòng điện và hiệu điện thế, chúng ta có được các phương trình sau đây: dvc ic = C (3.4) dt và: diL = vc − RiL L (3.5) dt L iL C i(t) R vra vc ic Hình 3.1. Một mạch RLC Dòng điện sinh ra bởi nguồn dòng rẽ thành hai nhánh trong mạch: i(t) = ic + iL (3.6) Từ các phương trình (3.4), (3.5) và (3.6), chúng ta thiết lập được hai phương trình vi phân bậc nhất với hai biến trạng thái x1 và x2: dx1 1 1 = − x2 + i (t ) (3.7) dt C C dx2 1 R = x1 − x2 (3.8) dt L L Tín hiệu ra của hệ thống: vra(t) = RiL = Rx2 (3.9) Sử dụng các phương trình (3.7), (3.8), (3.9) và các điều kiện ban đầu x1(t0) và x2(t0), chúng ta có thể xác định hành vi của hệ thống trong tương lai cũng như tín hiệu ra của nó. Tập hợp các biến trạng thái được chọn không phải là một tập hợp duy nhất, mà chúng ta có thể có nhiều lựa chọn khác nhau. Trong ví dụ trên, bất kỳ hai tổ hợp tuyến tính nào của x1(t) và x2(t) độc lập với nhau đều có thể là cặp biến trạng thái của hệ thống. Trong thực tế, người ta thường chọn các biến trạng thái là những biến có thể đo đạc được một cách dễ dàng. Một phương pháp khác để xây dựng mô hình của một hệ thống là sử dụng đồ thị liên kết. Đồ thị liên kết có thể sử dụng được cho các hệ thống điện, cơ, thủy lực, nhiệt... cũng như các hệ thống kết hợp nhiều loại phần tử khác nhau. Đồ thị 46 liên kết sẽ sinh ra hệ phương trình dưới dạng biến trạng thái. Các biến trạng thái của một hệ thống đặc trưng cho hoạt động củ ...