Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 20

Theo mô tả toán học, điều này có nghĩa là để có một hệ tuyến tính nhân quả ổn định tất cả các cực của hàm truyền của nó phải thỏa mãn vài tiêu chuẩn phụ thuộc vào một trong hai phân tích trong miền thời gian liên tục hoặc rời rạc được sử dụng:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 20354 CHÖÔNG 9 q11 q12 q13 q q22 q23 Q = 21 ; qij = q ji q13 q32 q33 .... .... .... q11 q12 ∆1 = q11 > 0; ∆ 2 =nghóa laø: (9.76) q21 q22 ∆n > 0 Neáu haøm V(x) laø haøm xaùc ñònh aâm thì ñieàu kieän (9.76) ñöôïcthay theá baèng ñieàu kieän ∆1 ; ∆ 2 ;....; ∆ n < 0 (9.77) Daïng bình phöông cuûa haøm V(x) V(x) = xT Q x (9.78) Q laø ma traän ñoái xöùng qij = q ji Vôùi n = 2 q11 q12 vì q12 = q21 Q= q21 q22 Ñieàu kieän ñeå haøm V(x) xaùc ñònh döông theo ñònh lyù Sylvester laø: ∆1 = q11 > 0 q11 q12 vì Q= 2 q21 q22 ∆ 2 = q11 q22 − q12 > 0 Haøm V(x) laø haøm xaùc ñònh döông. ( ) 2 2 2 = x1 + 2 x1 x2 + x1 Ví duï: V ( x ) = x1 + x2 ∆1 = 1 11 ; Q= ∆0 = 0 11 Khoâng thoûa maõn ñònh lyù Sylvester ∆ 2 = 0 haøm V(x) laø haømcoù daáu khoâng ñoåi: V ( x ) = 0 taïi x1 = x2 = 0 vaø x1 = − x2 Phöông phaùp thöù hai cuûa Lyapunov laø ñieàu kieän ñuû, neáu ñieàukieän thoûa maõn thì heä oån ñònh. Neáu nhö ñieàu kieän khoâng thoûamaõn thì khoâng theå keát luaän heä thoáng oån ñònh hay khoâng. Trongtröôøng hôïp naøy vaán ñeà oån ñònh chöa coù lôøi giaûi. Moät haømLyapunov V(x) ñoái vôùi baát kyø heä thoáng cuï theå naøo khoâng phaûi laø 355HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN TÖÏ ÑOÄNG PHI TUYEÁNduy nhaát. Do ñoù, neáu moät haøm rieâng V khoâng thaønh coâng trongvieäc chöùng minh moät heä cuï theå oån ñònh hay khoâng, khoâng coùnghóa laø khoâng theå tìm ra moät haøm V khaùc ñeå xaùc ñònh ñöôïc tínhoån ñònh cuûa heä. Choïn haøm V(x) laø haøm xaùc ñònh döông sao cho: dV * ≤ 0 : heä oån ñònh dt dV * : laø haøm xaùc ñònh aâm dt Heä oån ñònh tieäm caän dV * khoâng aâm, khoâng döông. Vaán ñeà veà oån ñònh cuûa heä coøn dtñeå ngoû. Ghi chuù: Phöông phaùp tröïc tieáp cuûa Lyapunov phuï thuoäc vaøo - Caùch choïn bieán traïng thaùi - Caùch choïn haøm Lyapunov Ñònh lyù veà khoâng oån ñònh Cho heä thoáng baäc hai ñöôïc moâ taû bôûi heä phöông trình bieántraïng thaùi ( ) 2 2 x1 = x2 + x1 x1 + x2 & (9.79) ( ) 2 2 x2 = − x1 + x2 x1 + x2 & Cho haøm V(x) ñeå xeùt tính oån ñònh cuûa heä. Ñònh lyù: Neáu tìm ñöôïc moät haøm V(x) sao cho ñaïo haøm dV/dt ( V ) &döïa vaøo phöông trình vi phaân cuûa chuyeån ñoäng bò nhieãu laø haømxaùc ñònh daáu, coøn trong laân caän tuøy yù beù cuûa goác toïa ñoä coù nhöõngñieåm taïi ñoù haøm V laáy giaù trò cuøng daáu vôùi V thì chuyeån ñoäng &khoâng bò nhieãu khoâng oån ñònh. AÙp duïng cho ví duï minh hoïa, choïn haøm V 12 ( ) 2 V= x1 + x2 (9.80) 2 V = x1 x1 + x2 x2 & & & Theá phöông trình (9.79) vaøo (9.80) ta ñöôïc356 CHÖÔNG 9 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 V = x1 x2 + x1 x1 + x2 + x2 x1 + x2 − x ...