Giáo trình Nhiệt kỹ thuật: Phần 2 - NXB Giáo dục

Giáo trình Nhiệt kỹ thuật: Phần 2 được biên soạn để phục vụ nhu cầu học tập và giảng dạy trong khối ngành kỹ thuật. Phần 2 tài liệu có 5 chương và phần phụ lục với nội dung: Trình bày các khái niệm, định luật cơ bản của nhiệt học và ứng dụng của nó, Các thông số vật lý của các chất thường thấy trong tính toán nhiệt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Nhiệt kỹ thuật: Phần 2 - NXB Giáo dục .Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh 9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt 9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n cña dÉn nhiÖt nh− sau: Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é. BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: q = −λgr adt , d¹ng v« h−íng lµ: dt q = −λgradt = −λ . tn Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: ∂t Q = −∫ λ .dF F ∂n Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng: ∂t Q = −λ .dF ∂n §Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt. 9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ q HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier λ = , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt. gradt HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu. 9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt 9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt. 9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q , c«ng suÊt ph¸t nhiÖt qv. 95 Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã: [§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] + [l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ: ∂t ρ.dV.C v = −divq.dV.dτ + q v .dV.dτ , ∂τ hay: ∂t 1 q = divq + v ∂τ ρ.C v ρ.C v Theo ®Þnh luËt fourier q = −λgr adt, khi λ = const ta cã: divq = div(−λgr adt ) = −λdiv(gr adt ) Trong ®ã: ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=∇ t, 2 Div(gr a dt) = ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ⎠ Víi: ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ 2 + 2 + 2 , (trong to¹ dé vu«ng gãc víi x, y, z) ⎪ ∂x ∂y ∂z ∇ t=⎨ 2 2 ⎪ ∂ t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t + . + + , (trong to¹ dé trô r, ϕ, z) ⎪ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎩ Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi trªn, cã d¹ng: ∂t λ q ⎛ q ⎞ = ∇ 2 t + v = a⎜ ∇ 2 t + v ⎟ ∂τ ρ.C v ρ.C v ⎝ λ ⎠ λ víi a = , m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é ρ.C v tiªu t¸n nhiÖt trong vËt. 9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0 ∂t Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, = 0 , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ∇ 2 t = 0 . Trong v¸ch ∂τ ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c d2t ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh = 0 . Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt, dx 2 tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô: d 2 t 1 dt + = 0. dx 2 r dr 9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ 96 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa nhiÒu h»ng sè tuú ý chän. ®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. 9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau: - §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V. - §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V). - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn ∂t trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ q λ = −λ = −λ.t n , th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë ∂n d¹ng: t w = t (M, τ) hoÆc ⎫ ⎬∀M ∈¦ W, ∀τ ∈ (0, ∞) . q λ = −λt n (M, τ) = q (M, τ)⎭ §iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh. 9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn T¹i mçi mÆt biªn ...