Giáo trình tính toán khoa học - Chương 10

Phân tích phổ dữ liệu là một trong các phương pháp phân tích một hàm số đã cho thành một chuỗi dãy các hàm đã biết. Một trong các phương pháp này rất quen thuộc, đó là chuỗi Taylor. Trong trường hợp này, chúng ta khai triển hàm đã cho bởi tổng của các đa thức đơn giản có dạng xn. Khi đó hàm f(x) có dạng: f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3+... trong đó các hệ số có thể tìm được một cách khá dễ dàng. ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 10 Chương 10 BIỂU DIỄN PHỔ DỮ LIỆU VÀ LỌC10.1 BIỂU DIỄN PHỔ DỮ LIỆU Phân tích phổ dữ liệu là một trong các phương pháp phân tích một hàm sốđã cho thành một chuỗi dãy các hàm đã biết. Một trong các phương pháp này rấtquen thuộc, đó là chuỗi Taylor. Trong trường hợp này, chúng ta khai triển hàmđã cho b ởi tổng của các đa thức đơn giản có dạng xn. Khi đó hàm f(x) có d ạng: f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3+...trong đó các hệ số có thể tìm được một cách khá dễ dàng. Biểu diễn một hàmtheo phương pháp chuỗi Taylor là m ột phương pháp khác đ ể mô tả hàm. Điều đónghĩa là việc mô tả hàm f(x) và tập các hệ số của chuỗi Taylor là tương đương. 111Thí dụ, hàm exp(x) và tập {1, 1, , , ,... } tương đương với nhau vì cả hai 2! 3! 4!cùng biểu diễn hàm lu ỹ thừa. Một biểu diễn phổ khác sử dụng ý tư ởng tương tự nhưng với các hàm khaitriển khác. Người ta sử dụng các h àm lượng giác và cố gắng khai triển hàm số đãcho dưới dạng chuỗi Fourier nh ư sau: f(x) = a0 + a 1cosx + a 2cos2x + a3cos3x +... + b 1sinx + b2sin2x + b3sin3x +... Vì tất cả các số hạng của chuỗi đều tuần hoàn với chu kì 2  , nên hàm f(x)cũng tuần hoàn với chu kì 2  . Như vậy hàm f(x) có thể biểu diễn bởi 2 dãy sốthực {ak} và {b k}. Bằng cách sử dụng dạng Euler của số phức: 1 1 inx -inx eix = cos x + i sin x và cos nx = (einx+ e-inx) và sin nx = (e - e ), 2 2i Do đó ta có: a2 2ix a1  ix a a e  e  a0  1 eix  2 e 2ix  ... f ( x )  ...  2 2 2 2 b b b b ...  2 e 2ix  1 e  ix  1 eix  2 e 2ix  ... 2 2 2 2 1Bằng cách kí hiệu: ck = (a k-ibk) ta nhận đư ợc chuỗi Fourier dạng phức: 2  f(x)=.  ck e ikx k  245 Hãy chú ý quan h ệ ck=c-k*. Dấu * d ùng để chỉ phép tính lấy liên hợp của sốphức. Quan hệ này luôn luôn đúng nếu hàm thực f(x)  R được khai triển thànhchuỗi Fourier. Câu hỏi đư ợc dặt ra lúc này là làm sao tính được dãy h ệ số {ck} đ ại diện chomột hàm f(x) cho trước. Quá trình này đ ược gọi là phép biến đổi Fourier (bạn đọccần xem lại phần giải tích toán học). Matlab cho chúng ta một công cụ để tạo radãy các hệ số Fourier của mỗi h àm f(x) đã cho và một công cụ để khôi phục hàmf(x) từ một dãy hệ số {ck} cho trước (còn gọi là phép biến đổi ngược Fourier): + Phép biến đổi Fourier (TF) : f(x)  {ck}; + Phép biến đổi ngược Fourier (ITF): {ck}  f(x). Cần chú ý rằng có một số hạn chế nhất định về toán học đối với phép biếnđổi Fourier. Điều đó liên quan đến phép tính tích phân để tính các hệ số Fouriercủa một h àm. Để một hàm có th ể biến đổi thành chuỗi Fourier được thì nó ph ảikhả tích và hội tụ. Một lợi ích dễ thấy của việc thay một hàm số bởi một dãy h ệ số Fourier làdễ lấy vi phân và tích phân. Thí dụ 1. Giải sử:  f(x)= .  ck e ikx k  Lấy đạo hàm cả 2 vế theo x ta đ ược:  df ikx ( x) =  ikck e dx k Từ đó ta thấy: f(x)  {ck} dn f ( x)  {(ik)nck} n dx Như vậy, việc lấy đạo hàm của một hàm số (đôi khi khá phiền phức) tươngứng với việc nhân các hệ số Fourier của nó với luỹ thừa của ik. Một vấn đề được đặt ra là độ phức tạp của việc tính các hệ số Fourier củamột hàm (và ngược lại) như thế n ào ? Cho tới giữa những năm 60 của thế kỉ 20,các thuật toán để tính dãy h ệ số Fourier đòi hỏi độ phức tạp tính toán là O(N2),với N là cỡ của b ài toán. Sự phụ thuộc bậc 2 này làm cho việc tính toán các hệ sốFourier khá ch ậm và vất vả. Đến năm 1965, Cooley và Tucker ở Trung tâm nghiên cứu IBM T.J.Watson, đã đưa ra một bài báo ngắn gợi ý một phương pháp tính các hệ sốFourier chỉ với một độ phức tạp tính toán là O(log2N). Bài báo này lập tức đượccác nhà khoa học quan tâm. Cho tới bây giờ nó vẫn được phổ biến để sử dụng 246làm kĩ thuật cho phép biến đổi Fourier trong nhiều lĩnh vực nh ư : Các phươngpháp phổ, các ph ương pháp giải bài toán Poisson nhanh, biểu diễn h ình ảnh, nénảnh, nhận dạng tiếng nói và phân tích sóng .v.v... Lợi ích của b iểu diễn phổ dữ liệu: - Phân tích d ạng sóng cho nhiều quá trình vật lí và hệ thống dao động. - Âm thanh là sự kết hợp của các tần số cao và sự thật chúng có thể phânbiệt khá rõ ràng về tín hiệu ( hãy xem mục Thiết kế lọc tối ưu ở sau). - Áp dụng lọc để quản lí dữ liệu đư ợc thực hiện với biểu diễn phổ dễ dànghơn với biểu diễn vật lí. Việc áp dụng các phép biến đổi Fourier rất phổ bién trong khoa học và kĩthu ật. Tuy nhiên, trong mục này chúng ta chỉ nghiên cứu 2 vấn đề: - Tính to án mức độ tương quan giữa 2 tín hiệu; - Thiết kế và ứng dụng lọc.10.2 TƯƠNG QUAN ...