Giáo trình tính toán khoa học - Chương 8

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 Xét bài toán có dạng như sau: Tìm hàm y =y(x),với x xác định trong khoảng [a,b] thoả mãn:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 8 Chương 8 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG8.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CƠ BẢN8.1.1 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 Xét bài toán có dạng nh ư sau: Tìm hàm y =y(x),với x xác định trongkhoảng [a,b] thoả mãn:  y  f ( x, y ) (8.1)   y ( x0 )  y0 , x0  [a, b ] Bài toán (8.1) gọi là bài toán Cauchy đ ối với phương trình vi phân cấp 1. Điều kiện y(x0) =y0 với x0 = a gọi là điều kiện đầu hay điều kiện Cauchycủa b ài toán. Sau đây là một số phương pháp giải cơ bản.  Phương pháp chuỗi Taylor Giả sử trong khoảng [a,b] h àm y=y(x) khả vi vô hạn lần tại x0 [a,b]. Khiđó lời giải của phương trình có dạng: y   ( x0 ) n y ( x0 ) y ( x0 )  x  x0 2  ...   x  x0 n  ... y  x   y  x0    x  x0   1! 2! n! Các thành ph ần trong biểu thức có thể tính nh ư sau: y(x0) = y0 ; y’(x0) = f(x0,y0); f f y’’  x    y’  x  ’  f x  x, y   y; (8.2)    x y f f y’’  x0    x0 , y0    x0 , y0  . y  x0  ; x y y’’’  x    y’’  x  ’ …   205 Phương pháp chuỗi Taylor là phương pháp chính xác và lời giải của b àitoán là một hàm được xác định dưới dạng chuỗi. Điều này không thuận tiện choviệc tính toán và lập chương trình. Vì vậy chúng ta sẽ nghiên cứu một số phươngpháp số để giải bài toán (8.1), nghĩa là lời giải bài toán sẽ đư ợc tìm dưới dạngbảng số.  Phương pháp Euler Đầu tiên, giống nh ư nội suy, chia khoảng [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau batại các điểm chia x0=a  Phương pháp khai triển tiệm cận sai số của phươngpháp Euler Giải sử ta tính các giá trị u i =u(xi) hai lần theo phương pháp Euler: Lần thứ hnhất với bức đi là h và lần thứ hai với bước đi là ta được các xấp xỉ của y(xi) 2 hlần lượt là u(xi,h) và u ( xi , ). Ta có 2 phương trình: 2 yi = u (xi,h) + Ch + 0(h 2); h h yi  u ( xi , )  C  0( h 2 ). 2 2 Lấy 2 lần ph ương trình thứ hai trừ đi phương trình thứ nhất ta được: h yi  2u ( xi , )  u ( xi , h)  0( h 2 ). 2 h Từ đẳng thức trên suy ra : nếu lấy vi  2u ( xi , )  u ( xi , h) làm giá trị xấp xỉ 2của yi ta có sai số là 0 (h2). Nói cách khác, phương pháp lặp: v0  y0  (8.5)  h vi  2u ( xi , 2 )  u ( xi , h ), i  1, 2,..., n là phương pháp có độ chính xác cấp 2 đối với h.  Phương pháp hiện ẩn hình thang Đầu tiên ta chia khoảng [a,b ] thành n đo ạn nhỏ bằng nhau tại các điểm chia bax0=a  Phương pháp hiện ẩn trung điểm Đầu tiên ta chia kho ảng [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau tại các điểm chia bax0=a Sau đó tính theo các công thức lặp: u0  y0  k  hf x , u ,  i i i  1, 2,..., n  1 1  k1  h   k2  hf  xi  , ui   2 2    (8.8)  k2  h   k3  hf  xi  , ui   2 2    k4  hf  xi  h, ui  k3   u  u  1 k  2k  2k  k    i 1 i 6 1 2 3 4  Công thức RK4 là công thức chính xác cấp 4, nghĩa là: yi  ui = 0(h4).8.1.2 Hệ phương trình vi phân cấp 1 Giả sử ta cần tìm n hàm số yi(x)= fi(x) i  1,2,..., n xác định trong [a,b]thỏa m ãn các điều kiện: ...