Giáo trình Tính toán khoa học: Phần 2

Phần 2 của cuốn giáo trình "Tính toán khoa học" tiếp tục cung cấp cho bạn đọc những nội dung chính gồm: Chương 4 - Giải phương trình phi tuyến; Chương 5 - Tính gần đúng đạo hàm và phân tích; Chương 6 - Bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân thường; Chương 7 - Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc; Chương 8 - Quy hoạch tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Tính toán khoa học: Phần 2 Chương 4 GIẢI PHƯ Ơ NG TRÌNH PHI TUYẾN 4.1. ĐẬT VÁN ĐÈ Cho hàm / , ta cần tìm X thỏa mãn: m = 0. Lời giải X được gọi là nghiệm của phương trình và cũng gọi là nghiệm (khôngđiểm ) cúa hàm f. Bài toán đặt ra được gọi là giải phtnmg trình/tìm nghiệm (root finding). Ví dụ: X* = 0 là không điểm của hàm fị x ) = X, J[x) = X2, j(x) = ln(x+l). X ét một số ví dụ khác về các phương trinh phi tuyến: 1. 1 + 4 * -1 6 jt2 + 3x 3 -3jc4 = 0. 2. j{x) - a = 0 . , x(2.1 - 0 .5 x ) ,/2 - 3 6 9 = 0 ( ữ < x < 1). (1 -JC)(1.1 -0 .5 jc >i/2 4. tg(jf) = tanh(2jr). Phương trinh đầu tiên là một phương trinh đa thức, phương trình như vậy có thểcoi là phương trình đặc trưng của công thức đệ quy tuyến tính. Việc giải phương trìnhtrong ví dụ 2 tương đương với việc tín h / “(a ) với f[x) là m ột hàm nào đó v à / 1 làhàm ngược của nó. Ví dụ 3 là trường hợp đặc biệt của 2. Ví dụ 4 là một phương trìnhsiêu việt. M ột trong những lý do đầu tiên giải thích tại sao chúng ta phải giải các phươngtrinh phi tuyến bằng các phương pháp số là các phương trình phi tuyến thưcmg khôngcó lời giải dưới dạng công thức hiện, ngoại trừ một số rất ít các phương trình đặc biệt.Ví dụ, công thức nghiệm cho các phương trình đa thức với bậc không quá 4 tồn tại,nhưng không có công thức nghiệm cho các đa thức bậc lớn hơn 4. Chính vì vậy, đề timnghiệm của các phương trinh phi tuyến chúng ta cần sù dụng các phưorig pháp số dựatrên các thủ tục lặp. 199 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình phi tuyến phức tạp hơnrất nhiều SO với trường hợp tuyến tính. Đối với hàm /: /?— R, đoạn [a, 0] được gọi là đoạn phân ly nghiệm nếu hàm / có >dấu trái ngược tại hai đầu mút. N ếu / l à hàm liên tục và sign(/(a)) * signựịb)) thì định lý về giá trị tning bình . * *khăng định sự tôn tại của X e [a, b] sao daoJ[x ) = 0. Phương trình phi tuyến có thể có một số lượng tùy ý nghiệm , chẳng hạn: 1. ex + 1 = 0 không có nghiệm. 2. e_x - X = 0 có m ột nghiệm. 3. X2 - 4 sin(jr) = 0 có hai nghiệm. 4. X3 + 6x2 + 1 ìx - 6 = 0 có ba nghiệm. 5. cos(x) = 0 cỏ vô số nghiệm. Phương trình phi tuyến có thể có nghiệm bội, tại đó cà hàm đã cho và đạo hàmcủa nó đều bằng 0 . V í dụ: Phuơng trình X - 2x + 1 = 0 có X = 1 là nghiệm bội 2. Còn phương trìnhX3 - 3X2 + 3x - 1 = 0 có X = 1 là nghiệm bội 3. Độ nhạy và điều kiện cùa bài toáti giải phinm g trình Điều kiện của bài toán giải phương trình đối nghịch với điều kiện của bài toántính giá trị hàm. G iá trị tuyệt đối của số điều kiện của bài toán tìm nghiệm x ’ của hàmt h ự c / R -» R là l / | / ’(*‘) |. N ghiệm X* được gọi là điều kiện tồi nếu đường tiếp tuyến với đồ thị tại điểm cỏhoành độ X* gần như nằm ngang (xem hình minh họa bên dưới). T rong trường hợpriêng, nghiệm bội có điều kiện tồi. Đ iều kiện tốt Điều kiện tồi Hình 1. Vồ đlèu kiện của bài toán200 Thủ tục lặp Các phương trinh phi tuyến thường không có lời giải dưới dạng công thức hiện,ngoại trừ một số rất ít các phương trình đặc biệt. Chính vì vậy, để tìm nghiệm của cácphương trinh phi tuyến chúng ta cần sử dụng các phương pháp sổ dựa trên các thủ tục lặp. Điều kiện dừng trong các thủ tục lặp Thông thường tiêu chuấn kết thúc cùa các thủ tục lặp giải phương trình phituyến là: I.Ẩ Ĩ)I 1 - tốc độ hội tụ trên tuyến tính; - r = 2 - tốc độ hội tụ bình phương. Hiện nay có rất nhiều phương pháp số để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến.Tuy nhiên mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và khuyết điểm riêng. Vì vậy,chúng ta cần biết được những đặc trưng cơ bản của mỗi phương pháp để vận dụngchúng vào việc giải các phương trình phi tuyến xuất hiện trong thực tế ứng dụng. Các tính năng cơ bản và các điều kiện áp dụng của m ột số phương pháp thườngdùng để giải các phương trình phi tuyến được tóm tắt trong bảng sau: 201 Cần biết Đỏi hỏi tính Kiếu Phương pháp khoảng liên tục củaphươ ng Tinh năng đặc biệt khác phân ly đạo hàm bậc 1 trình nghiệmChia đôi ...