Giáo trình Toán A3: Phần 2

Giáo trình Toán A3 phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân đường, tích phân mặt, định lý Green, công thức Ostrogradsky, phương trình của một đường cong phẳng,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán A3: Phần 2 CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I Chúng ta đã rất quen thuộc với tích phân xác định đối với hàm một biến f (x) trên một khoảng [a, b] là Rb f (x)dx. Lúc đó x chạy trên một đoạn với điểm đầu là a và a điểm cuối là b. Câu hỏi đặt ra là có thể định nghĩa tích phân của một hàm hai biến f (x, y) trên một đoạn, mở rộng hơn là trên một cung phẳng (tồn tại một mặt phẳng chứa cung này) hay không? Có nghĩa là điểm (x, y) chạy trên một cung phẳng (miền một chiều), điều này rõ ràng khác với tích phân kép ở chương II. 1.1 Phương trình của một đường cong phẳng (nếu được giới hạn gọi là cung phẳng) Một đường cong phẳngcó thể được cho bởi phương trình y = f (x) hoặc cho bởi x = x(t) phương trình tham số . Như vậy cung phẳng C có thể cho dưới dạng y = y(t)  y = f (x) x ≤ x ≤ x 1 2 hoặc    x = x(t)   . y = y(t)    t ≤ t ≤ t 1 2 Định nghĩa 1.1.1.  y = f (x) • Cung phẳng x ≤ x ≤ x 1 2 được gọi là trơn nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [x1 , x2 ]. • Cung phẳng    x = x(t)   y = y(t) được gọi là trơn nếu các hàm x = x(t) và y = y(t)    t ≤ t ≤ t 1 2 liên tục trên [t1 , t2 ]. 51 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại I Từ bài toán tính thể tích vật thể hình trụ để định nghĩa tích phân kép, một cách tương tự ta xây dựng định nghĩa tích phân đường loại một như sau. Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm z = f (x, y) xác định trên một cung phẳng C với điểm đầu là A điểm cuối là B. Chia cung C thành n cung phẳng nhỏ bởi các điểm A0 = A, A1 , A2 , ..., An = B và gọi độ dài cung Ai−1 Ai là ∆li . Trên mỗi cung phẳng Ai−1 Ai ta lấy một điểm (x∗i , yi∗ ). Ta cho n → ∞ sao cho max ∆li → 0, lúc đó nếu tổng n X f (x∗i , yi∗ )∆li (3.1) i=1 dần tới một giới hạn xác định và không phụ thuộc vào các điểm (x∗i , yi∗ ) thì giới hạn này gọi là tích phân đường loại I của hàm số f (x, y) dọc theo cung C và được kí hiệu Z f (x, y)dl. (3.2) C Nếu tích phân này tồn tại ta nói rằng f (x, y) khả tích trên C. Nhận xét 1.2.1. 1. Người ta chứng minh được rằng: nếu cung phẳng C trơn và f (x, y) liên tục trên C thì f (x, y) liên tục trên C hay tích phân (3.2) tồn tại. Do đó, ta thường quan tâm đến những hàm hai biến liên tục trên cung trơn. 2. Nếu f (x, y) không âm, liên tục trên cung phẳng trơn C thì tích phân đường loại I của f (x, y) dọc theo C chính là diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và đường cong không gian xác định bởi {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ C}. 3. dl ở đây ta hiểu rằng (x, y) chạy dọc theo cung C (thay vì chạy dọc đoạn [a, b] thuộc trục Ox được kí hiệu là dx). 4. Nếu f (x, y) = 1 thì R dl chính là độ dài cung C. C 5. Tích phân đường loại một cũng có các tính chất tương tự tích phân kép. 52 1.3 Công thức tính tích phân đường loại I Cũng như công thức tính tích phân kép, ta tìm cách đưa việc tính tích phân đường loại I về tích phân một biến. Tùy theo cung C, chúng ta có các trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Phương trình xác định cung C được cho bởi: y = y(x), a ≤ x ≤ b. Khi đó Zb Z f (x, y)dl = q f (x, y(x)) 1 + y 02 (x)dx. (3.3) a C Trường hợp 2: Phương trình xác định cung C có dạng tham số    x = x(t)   y = y(t) . Khi    a ≤ t ≤ b đó áp dụng công thức Zb Z f (x, y)dl = q 02 f (x(t), y(t)) x02 t + yt dt. (3.4) a C Trường hợp 3: Phương trình xác định cung C được cho trong hệ tọa độ cực: r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β. Khi đó, xem ϕ là tham số, ta có phương trình của cung C là    x = r(ϕ) cos ϕ   y = r(ϕ) sin ϕ    a ≤ t ≤ b. Lúc này ta có công thức như sau Zβ Z f (x, y)dl = C q f (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ) r(ϕ)2 + r0 (ϕ)2 dϕ. α Nhận xét 1.3.1. 1. Phương trình tham số của một số đường quen thuộc. 53 (3.5)    x = a cos t   x2 y 2 • Ellipse + = 1 có phương trình tham số là y = b sin t  a b   0 ≤ t ≤ 2π. • Đường tròn x2 + y 2 = r2 có phương trình tham số là    x = r cos t   y = r sin t    0 ≤ t ≤ 2π.    x=t    y = f (x) • Cung phẳng a ≤ x ≤ b có thể được tham số hóa bởi y = f (t)    a ≤ t ≤ b. 2. Hoàn toàn tương tự công thức (3.4), nếu C là đường cong trong không gian được cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b thì tích phân đường của hàm f (x, y, z) dọc theo C được tính theo công thức Zb Z f (x, y, z)dl = q 02 02 f (x(t), y(t), z(t)) x02 t + yt + zt dt. (3.6) a C Ví dụ 1.3.1. Tính tích phân Z I= xy 4 dl, trong đó C là nửa bên phải của đường tròn x2 + y 2 = 16. C Giải Cung phẳng C là nửa bên phải của đường tròn x2 + y 2 = 16 được tham số hóa bởi    x = 4 cos t   . Khi đó y = 4 sin t    − π ≤ t ≤ 2 π 2 0 0 x (t) = −4 sin t, y (t) = 4 cos t và q x02 t + yt02 q = 16 sin2 t + 16 cos2 t = 4. Lúc đó, áp dụng công thức (3.4), ta tính được π Z I= xy 4 dl = Z2 4 cos t(4 sin t)4 (4)dt − π2 C π Z2 =4096 − π2 π 4096 5  2 8192 cos t sin tdt = sin t π = . 5 5 −2 4 Ví dụ 1.3.2. Tính tích phân Z I= xydl, C 54 x2 y 2 trong đó C là phần tư của ellipse 2 + ...