Giáo trình Toán cao cấp - Giải tích: Phần 2

Phần 2 giáo trình "Toán cao cấp - Giải tích" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, hàm nhiều biến, phương trình vi phân, ứng dụng vào kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp - Giải tích: Phần 2Chương VI :TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNHI. Nguvẽn hàm - Tích phân bất đỉnh :1. Đính nghĩa : Cho các hàm sô / , F xác định trên [a,b].F được gọi là một nguyên hàm của / trong (a,b) nếuFf(x)= f(x ), VxE(a,b)F gọi là nguyên hàm của f trên [a,b] nếu :F{x) = f ( x ) , Vx G (a,b)vàF(a+) = f(a),F(b-) = f(b)Ví du :• cosx là nguyên hàm của sinx vì (—cosxỴ = sỉnx .—cos X + 7 cũng là nguyên hàm của sin X .• —3----5 ,^ ----- c là33X/3>nhữngnguyên hàm của/(X2vì :3= - - C—- - 53J3J>3,2. Đinh lv :Nếu hàm số / liên tục trên [a, b] thì / cónguyên hàm trên [a, b].3. Đinh Iv : Giả sử F là nguyên hàm của / trong (a,b). Khiđó ta có :i) F + c (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của / trong(a,b)119ii) Nếu G cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b) thì tồntại hằng số c sao choG(x) = F(x) + cVx G (a,b)Chứng minh :i) (F(x) + C)’ = F(x) = f(x), Vx e (a, b)=> F + c là một nguyên hàm của / trong (a,b)ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, Vx e (a,b)=>3CeM:G(x) - F(x) = c, VxG(a,b)=> G(x) = F(x) + c, Vx e (a,b)Ghi chú :• Định lý trên vẫn đúng nếu thay (a,b) bằng [a,b]• Nếu / có một nguyên hàm thì / có vô số nguyên hàm vàhai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm thì sai khác nhaumột hằng sô.4. Đinh nghĩa : Tập hợp tất cả những nguyên hàm của / trên[a,b] được gọi là tích phân bất định của Ị trên [a, b], ký hiệu: J f(x)dxNếu F là một nguyên hàm của / thì J* f(x)dx =F(z) + cII.Tính chất cửa tích phân bất đinh :Cho / , g là các hàm số có nguyên hàm trong (a,b). Khi đó :i)A / /(x)dx = ( / /(x)dx)ii)d j* f(x)dx =f(x)á x120= f( x )iii) J (f(x) ± g(x)) dx = J f(x)dx ± J g(x)dxiv) J*kf(x)dx = k J f ( x ) d x , k e lHệ quả : j ị ^ k tft(x)dx = ¿ f c , J ^(a;)ácÍ=1Í=1v) Nếu F’(x) = f(x) thìf F(x)dx = J d F ( x ) = F ( x ) + c = J f(x)dxvà Ị f ( y ) d y = F( y ) + c , / / ( í ) á í = F( t ) + C , ...Chứng minh: Dành cho độc giả (suy ra từ tính chất đạo hàm).III. Các công thức tích phản bất đinh cơ bần :1.Ịo d x =2.J adx = ax + ccn+1a;4.+ c (n * -1)f — = lnlrcl 4- cJ X(vì (ln 1^1 + c y(ln a;/(a: > 0 )ln(—a;)/(x < 0)(x > 0 )_ 1 _ _ 1_—X5.= -, x*0 )(x < 0 )Xf exdx = e x + c121Xf adx = —6.J+ c (v ii— ] = a x)In a7. J* sin xdx = —cos X +c8.J^cosxdx = sinz + c9.f —^ =- JfCOS2 reX JJ cos10. fJ.. f1112dx•^ 2sinreX= fJ «Jdxl + x2•J(1(1una,+ tg 2:r)cfo: =tgx 4 - c+ cotg 2a;)d:r = —cotgrc + c.. «dx-n + 113.J ÍJI -- —=J 2>/x—71+/■+c=1— + C(n*l)(n —1 )2;y/x + c,. T’ ,f sinx C-d(cosx), ,14. I tgxdx - I ——— ax = I — 1------- = —In Icos x -f uJJ cosa;Jcosx15.f cotgardrr = f CQS—¿ừ = f ^(sm£l —ln|sin:c| + cJ sin xJ16 I æ-2J= arcsin — -f cX2a122sin x181 9 .Jyjx2 4 - brrf*JdxX-— In X -ị- y j x ¿a.L inX —a2aX+ab 4 c+ c (a * 0 )120• J t( xt- -az) (xX -b— b)b — a21. f y/a2 —Jx 2d x ——yja2 —22 .x 2d xAJ a 2 +XX22—a+ c (a * b)-f —arcsin— 4- c (a * 0)2a= — a/ « 2 + Æ2 + —Ina; +y[aF+~x:IV. Vài ví du :X4— 5æ:* — X 2X2 ++ 3x + 7K= I IX2 —5x —2 4*•>3dx15x2Sx + 9z2+ l jdxif&ÎÏ& + 9 LJ U 2+lJ2X3 5x 2f 4.2xdxf dx= - - ~ ---- 2 a: +T ~.~ r + 92 7 32J Æ -f 1J Æ -ị- 1——32a;3~35x22~—2z + 4 f i í í ĩ l ì l ì _|_ g arctg XJ X2 + 12# -f- 4 ln(x 2 4-1) + 9arctgÆ -f c____b.J*(x2 -f x)yjx-jxdx1 1=J*(x2 + x)x2x Adx123