Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường Đại học Nông Lâm

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tích phân và một số ứng dụng; Phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường Đại học Nông Lâm Chương 3 Tích phân và một số ứng dụng Từ Chương 2, ta biết rằng nếu hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a, b) thì có đạo hàm trong khoảng (a, b) và ta hoàn toàn tính được đạo hàm của hàm số trong khoảng đó. Một bài toán đặt ra là nếu cho trước một hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) thì liệu có tồn tại một hàm số F (x) khả vi trong khoảng (a, b) và F 0 (x) = f (x) với mọi x thuộc khoảng (a, b), và nếu hàm F (x) như vậy tồn tại thì ta sẽ tìm hàm đó như thế nào? Chương này nhằm trả lời câu hỏi đó. Bên cạnh đó, chúng ta sẽ tìm hiểu một số ứng dụng quan trọng của bài toán trên trong nhiều lĩnh vực trong thực tế như kinh tế, nông nghiệp và một số ngành khoa học khác. 3.1. Tích phân bất định 3.1.1. Nguyên hàm của hàm số Định nghĩa 3.1.1. Nguyên hàm Hàm F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm f (x) nếu tại mọi điểm x thuộc miền xác định của f ta đều có F 0 (x) = f (x). Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x) + C, với C là hằng số cũng là một nguyên hàm của f (x). Ví dụ 3.1.2. Ta có các hàm số F (x) = x3 ; G(x) = x3 + 2; H(x) = x3 + 0, 1 đều là các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 vì đạo hàm của chúng đều bằng 3x2 . Định lí 3.1.3. Giả sử F (x) có đạo hàm trong (a, b) và F (x) là nguyên hàm của f (x) với mọi x. Khi đó, ta có các khẳng định sau: (1) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ (a, b). (2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ (a, b) đều có dạng F (x) + C. 3.1.2. Tích phân bất định Định nghĩa 3.1.4. Nếu f (x) có một nguyên hàm là F (x) thì nó có một họ các nguyên hàm là F (x) + C với C là một hằng số tùy ý và họ nguyên hàm đó được gọi là tích phân bất định của hàm f (x). 56 Z Z Ký hiệu: f (x)dx, trong đó: là dấu tích phân; x là biến lấy tích phân; f (x) là hàm dưới dấu tích phân; fZ(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Như vậy theo định nghĩa f (x)dx = F (x) + C. Z Z 5 Ví dụ 3.1.5. Tính các tích phân sau: (a) x dx; (b) sin xdx. !0 Z 6 6 x x Giải: (a) Ta có x5 dx = + C vì + C = x5 . 6 6 Z (b) sin xdx = − cos x + C vì (cos x)0 = sin x. • Các tính chất của tích phân bất định Z 0 Z (1) f (x)dx = f (x); d f (x)dx = f (x)dx; Z Z Z dF (x) 0 (2) dF (x) = F (x) + C hay dx = F (x)dx = dF (x) = F (x) + C; dx Z Z (3) kf (x)dx = k f (x)dx với k là một hằng số; Z Z Z (4) (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx; Z Z (5) Nếu có f (x)dx = F (x) + C và u = ϕ(x) thì f (u)du = F (u) + C. • Bảng các tích phân bất định của một số hàm cơ bản Z Z dx 1) 0dx = C; 9) = arctan x + C; 1 + x2 xα+1 Z Z dx 2) xα dx = +C (α 6= −1); 10) √ = arcsin x + C; α+1 1 − x2 Z Z 1 dx 1 a + x 3) dx = ln |x| + C; 11) = ln + C; x a2 − x 2 2a a − x ax f 0 (x) Z Z p 4) ax dx = + C; 12) p dx = 2 f (x) + C; ln a f (x) Z Z dx √ 5) cos xdx = sin x + C; 13) √ = ln(x + x2 + a) + C; x2 + a Z Z dx 1 x 6) sin xdx = − cos x + C; 14) = arctan + C; a2 + x 2 a a Z Z dx dx x 7) = tan x + C; 15) √ = arcsin + C. cos2 x 2 a −x 2 a Z dx 8) = − cot x + C; sin2 x Chú ý 3.1.6. Từ định nghĩa nguyên hàm ta thấy phép tính đạo hàm và phép tính nguyên hàm là hai phép tính ngược nhau nên từ bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản 57 ta suy ra được bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản, chẳng hạn các tích phân từ 1 đến 10 trong bảng. Các tích phân từ 11 đến 15 ta có thể xây dựng dựa vào tính chất của tích phân bất định và các tích phân đã biết. 3.1.3. Các phương pháp tính tích phân bất định (a) Phương pháp tính trực tiếp Sử dụng các tính chất và bảng tíc ...