Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: hàm số nhiều biến số; giới hạn và liên tục; cực trị tự do hàm nhiều biến; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội Chƣơng 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Hàm số hai biến số 1.1.1. Khái niệm hàm số hai biến số Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số này vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập đƣợc đặt tƣơng ứng với một giá trị xác định của biến phụ thuộc. Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không chỉ vào một, mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác. Chẳng hạn, sản lƣợng, tức là số lƣợng sản phẩm của một hãng sản xuất phụ thuộc vào mức sử dụng các yếu tố đầu vào (gọi là các yếu tố sản xuất) nhƣ lao động, vốn v.v Khái niệm hàm số nhiều biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số vào n biến số khác. Để cho đơn giản, trƣớc hết ta đề cập đến trƣờng hợp n = 2. Định nghĩa. Ta gọi biến w là hàm số của 2 biến số x và y nếu, theo một quy luật f, mỗi cặp số thực (x,y) có thứ tự, gồm một giá trị của biến x cùng với một giá trị của biến y, đƣợc đặt tƣơng ứng với một giá trị xác định của biến w: f : (x, y)  w Để biểu diễn sự phụ thuộc hàm số của biến w vào các biến x và y ta dùng ký hiệu w = f(x, y), trong đó chữ f đặc trƣng cho quy luật tƣơng ứng nêu trong định nghĩa. Các biến số x, y đƣợc gọi là các biến độc lập, hay các đối số của hàm số. Khi nói đến các hàm số khác nhau ta dùng các kí hiệu khác nhau: w = g(x, y), w = h(x, y), … Việc thiết lập hệ tọa độ trên mặt phẳng cho phép ta đồng nhất cặp số thực có thứ tự (x 0 , y0 ) với điểm M0(x0, y0) của mặt phẳng. Theo quan điểm này, một cặp biến số (x, y) đƣợc xem nhƣ một biến điểm M(x, y) của mặt phẳng và hàm hai biến w = f(x, y) đƣợc xem nhƣ hàm số của một biến điểm M. Ta sẽ đồng nhất 2 cách ký hiệu: w = f(x, y) và w = f(M). 93 1.1.2. Miền xác định và miền giá trị 1. Miền xác định (MXĐ) của hàm 2 biến w = f(x, y) là tập hợp tất cả các cặp số thực (x,y) mà các biến độc lập x và y có thể nhận đồng thời. Nếu biểu diễn hình học thì đó là một tập hợp điểm của mặt phẳng tọa độ. Khi cho một hàm số cụ thể ngƣời ta thƣờng cho trƣớc MXĐ và chỉ rõ luật tƣơng ứng để khi biết một giá trị của x cùng với một giá trị của y ta có thể xác định đƣợc giá trị tƣơng ứng của biến w. Tuy nhiên, khi xét thuần túy dƣới giác độ toán học, ngƣời ta thƣờng cho hàm số của 2 biến x, y dƣới dạng một biểu thức f(x, y) và không chỉ rõ MXĐ. Trong trƣờng hợp này ta coi MXĐ của hàm số là MXĐ tự nhiên của biểu thức f(x, y), tức là tập hợp tất cả các cặp số thực (x, y) làm cho biểu thức đó có nghĩa. Ví dụ 3.1. MXĐ tự nhiên của hàm số w = y  x là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện y  x. Về mặt hình học, đó là nửa mặt phẳng phía trên đƣờng thẳng y = x, kể cả đƣờng thẳng này. Ví dụ 3.2. MXĐ tự nhiên của hàm số w = ln(4 − x2 − y2) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) với x2 + y2 < 4. Đó là hình tròn có tâm ở gốc tọa độ và bán kính r = 2 (không kể các điểm của đƣờng tròn). Chú thích. Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp hàm một biến, ta dùng kí hiệu f(xo, yo) để chỉ giá trị tƣơng ứng của hàm hai biến w = f(x, y) khi gán x = xo, y = yo. Ta gọi f(xo, yo) là giá trị của hàm số tại điểm Mo(xo, yo) và có thể dùng kí hiệu f(Mo) để thay thế. 2. Miền giá trị (MGT) của hàm số w = f(x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi điểm M(x, y) thay đổi trong MXĐ. 3. Đồ thị của hàm 2 biến. Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w = f(x, y) trong không gian 3 chiều, ta dùng hệ tọa độ vuông góc gồm 3 trục số Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc và có cùng gốc tọa độ O. Miền xác định D của hàm số w = f(x, y) là một tập hợp điểm trên mặt phẳng (Oxy). Theo quy tắc tƣơng ứng của hàm số, mỗi điểm M(x, y)  D cho tƣơng ứng một điểm P( x, y, z) trong không gian với cao độ z = f( x, y) . Tập hợp tất cả các điểm 94 P( x, y, z) , khi điểm M(x, y) thay đổi trong miền D, đƣợc gọi là đồ thị của hàm số w = f(x, y). Đồ thị thƣờng là một mặt cong trong không gian 3 chiều Oxyz. Ví dụ 3.3. Đồ thị hàm số w = 4  x 2  y2 là nửa trên của mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và bán kính R = 2. 4. Đường mức. Cho w = f(x, y) là một hàm số xác định trong miền D. Với wo là một giá trị cố định thuộc tập giá trị của hàm w, ta xét tập hợp tất cả các điểm (x,y)  D thỏa mãn điều kiện f(x, y) = wo Thông thƣờng tập hợp điểm này là một đƣờng trên mặt phẳng (Oxy), đƣợc gọi là đường mức của hàm số w = f(x,y). Nhƣ vậy, đƣờng mức của hàm số w f(x,y) là đƣờng trên mặt phẳng (Oxy) mà dọc theo đó hàm số nhận giá trị không đổi. Ví dụ 3.4. Các đƣờng mức của hàm số w = 2x + 3y là các đƣờng thẳng song song 2x + 3y = C (C là hằng số). 1.2. Hàm số n biến số 1. Khái niệm hàm số hai biến số nói trên có thể khái quát hóa thành định nghĩa tổng quát sau: Định nghĩa. Biến w đƣợc gọi là hàm số của n biến độc lập x1, x2,..., xn nếu, theo một quy luật f nhất định, mỗi bộ n số thực có thứ tự (x1, x2,..., xn), trong đó mỗi số là một giá trị gán cho biến số có cùng ký hiệu, đƣợc đặt tƣơng ứng với một giá trị xác định của biến w: f: (x1, x2,..., xn)  w Để diễn đạt sự phụ thuộc hàm số của biến số w vào các biến x1, x2,..., xn ta dùng ký hiệu w = f(x1, x2,..., xn) (1) 2. Các khái niệm MXĐ, MGT, đồ thị và đƣờng mức đƣợc hiểu theo nghĩa tƣơng tự nhƣ đã định nghĩa cho hàm số 2 biến số. 95 3. Khái quát hóa cách biểu diễn theo tọa độ điểm trên mặt phẳng và trong không gian 3 chiều, ta gọi mỗi bộ số thực có thứ tự (x1, x2,..., xn) là một điểm n chiều và viết M(x1, x2,..., xn) Theo quan niệm này mỗi bộ ...