Giáo trình Xác suất: Phần 1

Giáo trình này được viết dựa trên các bài giảng của tác giả về lý thuyết xác suất, dành cho sinh viên và học viên cao học ngành Toán. Giáo trình gồm 4 chương. Phần 1 sau đây gồm nội dung chương 1, chương 2. Chương 1 trình bày về một số khái niệm và tính chất mở đầu của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố, xác suất có điều kiện, tính độc lập của các biến cố, dãy phép thử Bernoulli.... Các khái niệm và tính chất này sẽ được dùng nhiều ở các chương sau. Chương 2 trình bày các vấn đề liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên: Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên, các loại đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối, bảng phân phối và hàm mật độ xác suất, các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Xác suất: Phần 1 NGUYỄN VĂN QUẢNG GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI HỌC Quốc G I A HÀ NỘI MỤC L Ụ C L ờ i nói đ ầ u 3 Ì B i ế n c ô v à x á c suất 5 1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 5 1.2 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố l i 1.3 Xác suất của biến cố 17 1.4 Xác suất có điều k i ệ n . . . 27 1.5 Dãy phép thử Bernoulli 37 Bài tập 41 2 Đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n v à p h â n p h ố i x á c s u ấ t 49 2.1 Đ ạ i lượng ngẫu nhiên 49 2.2 Các loại đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n 55 2 3 Các số đặc t r ư n g của đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n 61 2.4 Một số phân phối xác suất quan trọng 73 2.5 Vectơ ngẫu nhiên 89 Bài tập 102 ì 3 Một s ố đ ị n h lý giới h ạ n 114 3.1 M ộ t số bất đẳng thức cơ bản 114 3.2 Các dạng hội t ụ 120 3.3 M ộ t số định lý giới h ạ n theo p h â n phối 134 3.4 Chuỗi các đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập 145 3.5 L u ậ t số lớn 148 Bài tập 160 4 K ỳ vọng c ó đ i ề u k i ệ n v à martingale 166 4.1 Kỳ vọng có điều k i ừ n 166 4.2 Thời điểm Markov và thời điểm dừng Ì76 4.3 Martingale • 181 4.4 M ộ t số bất đẳng thức cơ bản 194 4.5 Một số định lý giới h ạ n 200 4.6 L u ậ t số lớn 208 Bài tập 217 Hướng dẫn giải bài tập 224 Tài l i ệ u tham khảo 255 2 i L Ờ I NÓI ĐẦU Giáo trình này được viết dựa trên các bài giảng của tác giả về lý thuyết xác suất, d à n h cho sinh viên và học viên cao học n g à n h Toán. Giáo t r ì n h gồm 4 chương. Chương Ì t r ì n h bày về một số khái niệm và t í n h chất mở đ ầ u của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố. xác suất có điều kiện. tính độc lập của các biến cố, dãy p h é p t h ử Bernoulli.... Các khái niệm và t í n h chất này sẽ được d ù n g nhiều ở các chương sau. C h ư ơ n g 2 t r ì n h bày các vấn đề liên quan đến đ ứ i lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên: Khái niệm đ ứ i lượng ngẫu nhiên, các loứi đ ứ i lượng ngẫu nhiên, h à m p h â n phối, bảng p h â n phối và h à m mật độ xác suất. các số đặc trưng của đ ứ i lượng ngẫu nhiên... C h ư ơ n g 3 t ậ p trung nghiên cứu về các định lý giới hứn đối với d ã y đ ứ i lượng ngẫu nhiên độc lập. Trong chướng này, trước hết chúng tôi đề cập đến bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Kolmogorov, vì đây là những bất đẳng thức cơ bản để nghiên cứu các định lý giới hứn nói chung và luật số lớn nói riêng. Sau đó chúng tôi giới thiệu về các dứng hội tụ và t r ì n h bày vắn t ắ t định nghĩa và t í n h chất của h à m đặc t r ư n g , d ù n g làm công cụ để nghiên cứu một số dứng của định 3 lý giới hạn trung t â m . Cuối cùng, chúng tôi t r ì n h bày sự hội t ụ của chuỗi các đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập và l u ậ t số lớn. Chương 4 t r ì n h bày về kỳ vọng có điều k i ệ n và martingale. Trong chương này. sau khi giới t h i ệ u khái n i ệ m k ỳ vọng có điều kiện, chúng tôi trình bày về thời đ i ể m Markov và thời đ i ể m dẳng, d ù n g làm công cụ đê nghiên cứu về martingale và các khái niêm liên quan. M ộ t số bất đ ẳ n g thức cơ bản, một số định lý giới hạn và luật số lớn đ ố i với martingale và các khái niệm liên quan cũng đ ã được đề cập đ ế n trong chương này. C h ú ý rằng. tẳ các kết quả của chương 4 có t h ể t h u l ạ i được m ộ t số kết quả của chương 3. Cuối mỗi chương đều có khá nhiều bài t ậ p , trong đó có m ộ t số bài tương đ ố i khó và còn ít x u ấ t hiện ở các giáo t r ì n h khác. Đ ố i với những bài này. chúng tôi có hướng dẫn giải ở cuối giáo t r ì n h Giáo trình này được hoàn t h à n h với sự hợp t á c , đ ó n g góp của các thạc sĩ va học viên cao học: Lê Văn T h à n h . Võ Thị Hồng Vân, Nguyễn Văn Huấn, Nguyễn Ngọc Huy, Phan Huy Hoàng, Nguy ...