Giáo trình Xác suất: Phần 2

Tiếp nối phần 1, phần 2 giáo trình gồm nội dung chương 3, chương 4. Chương 3 tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập. Chương 4 trình bày về kỳ vọng có điều kiện và martingale. Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Xác suất: Phần 2 CHƯƠNG 3 M Ộ T SỐ Đ Ị N H LÝ G I Ớ I HẠN T r o n g c h ư ơ n g n à y , c h ú n g ta l u ô n l u ô n g i ả t h i ế t r ằ n g cácđ ạ i lượng ngẫu nhiên c ù n g x á c định t r ê n k h ô n g gian x á c suấtđ ầ y đ ủ (ũ, J-,Ỹ) và c ù n g n h ậ n g i á t r ị t r o n g ( R , B). s s ọ3.1 M ộ t s ô b á t đ ă n g t h ệ c cơ b ả n Trong mục này, c h ú n g t a sẽ n g h i ê n cệu bất đẳng thệcChebyshev v à b ấ t đẳng thệc Kolmogorov c ù n g các hệ quảcủa c h ú n g . D â y là n h ữ n g c ô n g cụ cơ b ả n đ ể n g h i ê n c ệ u cácđ ị n h lý giới h ạ n nói c h u n g và l u ậ t số l ớ n n ó i r i ê n g .1. B ấ t đ ẳ n g thệc ChebyshevĐịnh l ý . G i ả sử Y là đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n k h ô n g â m . K h iđ ó n ế u t ồ n t ạ i KY t h ì v ớ i m ọ i e > 0 ta c ó Ỹ(Y > e) — . 114Chứng minh. Ta cóEY = / YdP = / YdF ị / YdP ^ e ị dF = eF{YSuy ra FY P(Y > e) < —H ệ q u ả 1. ( B ấ t đẳng thức Chebyshev). G i ả sử X là đ ạ i lượngngẫu nhiên bất kỳ. K h i đó nếu t ồ n t ạ i DX thì với mọi e > 0,ta có DX F(\X-EX\ >e) < ~ . 2Chứng minh. Xét đ ạ i lượng ngầu nhiên y = Ị X — E À | > 0ta có FY nỵ 2 P ( | X - EX\ >e) = F(Y > í- ) < = f =H ệ q u ả 2 . ( B ấ t đẳng thức Markov) G i ả sử A là đ ạ i lượngngẫu nhiên bất kỳ. K h i đó, nếu tồn t ạ i E | À | thì với e > 0, rta có Kí A T F(\x\ > c K : -Ì—!- . rChứng minh. Xét đ ạ i lượng ngẫu nhiên y = ỊAỊ 0. Ta có r IP ố V I T P ( | X | > e) = P ( | A T > e ) < - ^ - kV í d ụ . M ộ t cửa h à n g vải muốn ước lượng nhanh chóng sốvải bán ra trong một t h á n g của mình. số vải của mỗi kháchhàng được làm tròn bởi số nguyên m gần nhất (Ví dụ trong 115sổ ghi 195,6m thì làm tròn là 196m). Hãy tính sai số giữa sốvải thực bán ra và số vải được làm tròn.Giải. Kí hiệu Xi là sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vảiđã tính tròn của khách hàng thứ i. Các sai số Xi, X2, • • •, X TÌlà các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố đều trên đoạn[-0,5; 0,5]. Khi đó EXị = 0, DXị = —. Sai số tổng cộngtrong cả tháng là 5 = Xì + x 2 + • • •+ xn(trong đó n là số khách mua hàng trong tháng) ES = E X i = 0, 1=1 n DXi = — . 12Theo bất đẳng thức Chebyshev, xác suất để sai số vượt quáe mét sẽ được đánh giá bi r 4Giả sử có n = l o khách hàng trong tháng. Để xác suấtP(|5| > ế) < 0,01 ta phải có < 0,01 hay 2 12e e 2 J—7-—T = 288,67. V 12(0,01)Vậy ta có thể kết luận: Với xác suất 0,99 sai số giữa số vảithực bán với số vải đã tính tròn không vượt quá 289m, nếu 116số khách h à n g là Ì vạn.3.4.2 B ấ t đ ẳ n g t h ứ c K o l m o g o r o vĐ ị n h lý. G i ả sử Xi, Xi,..., X là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên nđộc lập; EXị = 0, DXị = ơi (Vi = 1 . 2 , . . . , TÌ). D ặ t k s = Xi + x k 2 + .... + x k = J2 Xi i=l (Ì < k 0, ta có Ì 2i) P(max K K n |5 f c | sỉ Ặ E r = i ^li) N ế u P(maxie) A fc = ( max \Si\ < e; |5fe| z e) lTa có TIY °ĩ J = DS n = ĨLS 2 ni=l rì Tí> ESịỈA = J2 KSịl Ak = ] T E\s, + (S„ - 5,)| /,n 2 fc=l k=\ n Tỉ ...