Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn

Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x 0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x 0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n Î K {x 0 } và x n ® x 0 , ta có: f(x n ) ® L . Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) ® L khi x...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn Giới hạn hàm số Giới hạn hàm sốI. Lý thuyết 1. Định nghĩa:1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x 0 . Ta nói rằng hàm số f (x) xác định trên K (cóthể trừ điểm x 0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n Î K {x 0 }và x n ® x 0 , ta có: f(x n ) ® L . Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f (x) ® L khi x ® x 0 . x ® x01.2.Giới hạn một bên:* Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (x 0 ; b) .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x )khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy (xn ) : x 0 < xn < b mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kíhiệu: lim f (x ) = L . + x ®x 0* Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (a; x 0 ) .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x ) khix dần tới x 0 nếu với mọi dãy (xn ) : a < xn < x 0 mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kíhiệu: lim f (x ) = L . - x ®x 0 lim f (x ) = L Û lim f (x ) = lim f (x ) = L .Chú ý: x ®x 0 x ®x + x ®x - 0 01.3. Giới hạn tại vô cực* Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (a; +¥) có giới hạn là L khi x ® +¥ nếu với mọi dãy số(xn ) : xn > a và xn ® +¥ thì f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®+¥* Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (-¥; b ) có giới hạn là L khi x ® -¥ nếu với mọi dãy số(xn ) : xn < b và xn ® -¥ thì f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®-¥1.4.Giới hạn vô cực* Ta nói hàm số y = f (x ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy số(xn ) : xn ® x 0 thì f (xn ) ® +¥ . Kí hiệu: lim f (x ) = +¥ . x ®x 0* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x 0 bởi -¥ hoặc +¥ .2. Các định lí về giới hạnĐịnh lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L ¹ 0 ) khi x ® x 0(hay x ® +¥; x ® -¥ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x ® x 0(hay x ® +¥; x ® -¥ ) .Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng chocác giới hạn dần về vô cựcĐịnh lí 2: (Nguyên lí kẹp)Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -1- Giới hạn hàm sốCho ba hàm số f (x ), g(x ), h(x ) xác định trên K chứa điểm x 0 (có thể các hàm đó không xác địnhtại x 0 ). Nếu g (x ) £ f (x ) £ h (x ) x Î K và lim g(x ) = lim h(x ) = L thì lim f (x ) = L . x ®x 0 x ®x 0 x ®x 03. Một số gới hạn đặc biệt x 2k +1 = +¥ (-¥) x 2k = +¥ lim lim* ; x ®+¥ x ®+¥ (x ®-¥) (x ®-¥) k* lim f (x ) = +¥ (-¥) Û lim = 0 (k ¹ 0) x ® x 0 f (x ) x ®x 0 sin x x tan x x = lim = 1 , từ đây suy ra lim = lim = 1.* lim x ®0 x x ® 0 sin x x ®0 x x ® 0 tan x 1 ex - 1 ln(1 + x ) 1 lim (1 + )x = e Þ lim = lim =1* lim (1 + x ) = x x x ®0 x x x ®0 x ®0 x ®±¥Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực,giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶPDạng 1: Tìm lim f (x ) biết f (x ) xác định tại x 0 . x ®x 0Phương pháp:* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x 0 )* Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạntrái bằng giới hạn phải).Ví dụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau: ln2 (x + 2) - x + 1 x2 - x + 1 2 tan x + 1 1)A1 = lim ...