GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Tham khảo tài liệu giới hạn nguyên hàm – tích phân và ứng dụng, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGNguyễn Tất Thu 01699257507 CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGA. Tóm tắt lí thuyếtI. Giới hạn hàm số1. Định nghĩa:1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x 0 . Ta nói rằnghàm số f (x) xác định trên K (có thể trừ điểm x 0 ) có giới hạn là Lkhi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n Î K {x 0 }và x n ® x 0 , ta có: f(x n ) ® L . Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f (x) ® L khi x ® x 0 . x ® x01.2.Giới hạn một bên:* Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (x 0 ; b) .Số L gọi là giới hạnbên phải của hàm số y = f (x ) khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy(xn ) : x 0 < xn < b mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kíhiệu: lim f (x ) = L . + x ®x 0* Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (a; x 0 ) .Số L gọi là giới hạn bêntrái của hàm số y = f (x ) khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy(xn ) : a < xn < x 0 mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kíhiệu: lim f (x ) = L . - x ®x 0 lim f (x ) = L Û lim f (x ) = lim f (x ) = L .Chú ý: Ta có: x ®x 0 x ®x + x ®x - 0 01.3. Giới hạn tại vô cực* Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (a; +¥) có giới hạn là L khix ® +¥ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn > a và xn ® +¥ thìf (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®+¥Trường THPT Lê Hồng PhongNguyễn Tất Thu 01699257507* Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (-¥; b ) có giới hạn là L khix ® -¥ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn < b và xn ® -¥thì f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®-¥1.4.Giới hạn vô cực* Ta nói hàm số y = f (x ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dầntới x 0 nếu với mọi dãy số (xn ) : xn ® x 0 thì f (xn ) ® +¥ . Kíhiệu: lim f (x ) = +¥ . x ®x 0* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x 0 bởi -¥ hoặc +¥ .2. Các định lí về giới hạnĐịnh lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn vềL ¹ 0 ) khi x ® x 0 (hay x ® +¥; x ® -¥ ) bằng tổng, hiệu, tích,thương của các giới hạn đó khi x ® x 0 (hay x ® +¥; x ® -¥ ) .Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn làhữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cựcĐịnh lí 2: (Nguyên lí kẹp)Cho ba hàm số f (x ), g(x ), h(x ) xác định trên K chứa điểm x 0 (có thểcác hàm đó không xác định tại x 0 ). Nếu g (x ) £ f (x ) £ h (x ) x Î Kvà lim g(x ) = lim h(x ) = L thì lim f (x ) = L . x ®x 0 x ®x 0 x ®x 03. Một số gới hạn đặc biệt x 2k +1 = +¥ (-¥) x 2k = +¥ lim lim* ; x ®+¥ x ®+¥ (x ®-¥) (x ®-¥) k* lim f (x ) = +¥ (-¥) Û lim = 0 (k ¹ 0) x ® x 0 f (x ) x ®x 0 sin x x = lim = 1 , từ đây suy ra* lim x ®0 x x ® 0 sin x tan x x = lim = 1. limx ®0 x x ® 0 tan xTrường THPT Lê Hồng PhongNguyễn Tất Thu 01699257507 1 1 lim (1 + )x = e* lim (1 + x ) = x x x ®0 x ®±¥ ex - 1 ln(1 + x )Þ lim = lim =1 x x ®0 x x ®0Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạntại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giớihạn hàm lũy thừa, mũ và logarít.II. Hàm số liên tục1. Định nghĩa :*Cho hàm số y = f (x ) xác định trên khoảng K và x 0 Î K .y = f (x ) liên tục tại x 0 Û lim f (x ) = f (x 0 ) . x ®x 0* y = f (x ) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm củakhoảng đó ()* y = f (x ) liên tục trên đoạn éa;b ù nếu nó liên tục trên a;b ëûvà lim f (x ) = f (a ) , lim f (x ) = f (b ) x ®a + x ®b -2. Định lý :Định lý 1 :a) Hàm số đa thức liên tục trên tập Rb) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từngkhoảng xác định của chúngĐịnh lý 2 : Các hàm số y = f (x ) , y = g (x ) liên tục tại x 0 . Khi đó () fx liên ...