Hai quy tắc đếm cơ bản

Tham khảo tài liệu hai quy tắc đếm cơ bản, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hai quy tắc đếm cơ bản HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢNI. LÝ THUYẾTI.1. Quy tắc cộngI.1.1 Ví dụ Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhàtrường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B.Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 họcsinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến? Giải Nhà trường có hai phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn một họcsinh tiên tiến của lớp 11A, mà lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến nên có 31cách chọn. Phương án thứ hai là chọn một học sinh tiên tiến của lớp 12B, màlớp 12B có 22 học sinh tiên tiến nên có 22 cách chọn. Vậy theo quy tắc cộngnhà trường có 31+22=53 cách chọn.I.1.2 Định nghĩa Quy tắc cộng cho công việc với hai phương án được phát biểu như sau:Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phươngán B. Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện theo phươngán B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách. Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như sau:Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1,A2, …, Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương ánA2, … và nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể đượcthực hiện bởi n1 + n2 + … + nk cách.I.1.3. Ví dụ Giả sử đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàuhỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa,3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh Ađến tỉnh B trong một ngày? Giải Người đi sẽ có bốn phương án chọn. Phương án thứ nhất là đi bằng ô tô,mà mỗi ngày có 10 chuyến ô tô nên phương án này có 10 cách chọn. Tươngtự, phương án thứ hai là đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn, phương án thứ ba làđi bằng tàu thủy có 3 cách chọn, phương án thứ tư là đi bằng máy bay có 2cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2=20 cách chọn.I.1.4. Lưu ý Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợpkhông giao nhau:Nếu tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B không giao nhau.Khi đó thì số phần tửcủa A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là: | A ∪ B| = |A| + |B|. Tuy nhiên trong nhiều bài toán , chúng ta phải tính số phần tử của hai tậphợp A và B có giao khác rỗng. Nếu trong trường hợp này ta vẫn lầy số phầntử của tập A cộng với số phần tử của tập B thì khi đó số phần tử của A ∩ B sẽđược tính hai lần. Cho nên, đối với trường hợp này ở kết quả chúng ta phảitrừ đi số phần tử của A ∩ B. Vậy: Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng.Khi đó thì sốphần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừđi số phần tử của A ∩ B, tức là: | A ∪ B| = |A| + |B| - | A ∩ B|. Quy tắc trên gọi là quy tắc cộng mở rộng.I.2. Quy tắc nhânI.2.1 Ví dụ Lộc muốn qua nhà Phúc để cùng Phúc lại chơi nhà Trung. Từ nhà Lộc đếnnhà Phúc có 4 con đường đi, từ nhà Phúc tới nhà Trung có 6 con đường đi.Hỏi Lộc có bao nhiêu cách chọn đi đến nhà Trung Giải Nhà Lộc Nhà Phúc Nhà Trung Vì từ nhà Lộc tới nhà Phúc có 4 con đường đi nên có 4 cách chọn. Với mỗicách đi từ nhà Lộc tới nhà Phúc thì sẽ có 6 cách đi tiếp từ nhà Phúc tới nhàTrung (vì từ nhà Phúc qua nhà Trung có 6 con đường đi). Vậy có 4.6=24cách đi từ nhà Lộc qua nhà Phúc đến nhà Trung.I.2.2 Định nghĩa Quy tắc nhân cho công việc với hai công đoạn được phát biểu như sau:Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn Acó thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn Bcó thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách. Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Côngđoạn A1 có thể làm theo n1 cách, công đoạn A2 có thể làm theo n2 cách, …,công đoạn Ak có thể làm theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiệntheo n1n2…nk cách.I.2.3. Ví dụ Ví dụ 1 Tình đến văn phòng phẫm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặthàng: bút, vở và thướt, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở, 3 loại thước. HỏiTình có bao nhiêu cách chọn món quà gồm một bút,một vở và một thước? GiảiMột món quà phải có một bút, một vở và một thước.Một bút được chọn từ 5 loại bút nên có 5 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn một bút, một vở được chọn từ 4 loại vở nên có 4cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn một bút và một vở, một thước được chọn từ 3 loạithước nên có 3 cách chọn.Vậy theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 cách chọn mua quà. Ví dụ 1 Từ các số tự nhiên có thể lập được bao nhiêu tờ vé số mà mỗi vé có 6 chữsố khác nhau? GiảiGọi A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}6 số của tờ vé số có dạng abcdef với a,b,c,d,e,f ∈ Aa được chọn từ tập A có 10 phần tử nên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ tập A\ {a} có 9 phần tử nên có 9cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a và b, c được chọn từ tập A\ {a, b} có 8 phần tử nêncó 8 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b và c, d được chọn từ tập A\ {a, b, c} có 7 phần tửnên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b, c và d, e được chọn từ tập A\ {a, b, c, d } có 6 phầntử nên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b,c,d và e, f được chọn từ tập A\ {a, b, c, d , e} có 5phần tử nên có 5 cách chọn.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.9.8.7.6.5 = 151200 cách chọn.II. BÀI TẬPII.1 Phương pháp giảiII.1.1 Sử dụng qui tắc cộng để giải bài toán đếm.Để sử dụng qui tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:Bước 1: Phân tách cách giải quyết một công việc thành k phương án độc lậpvới nhau: A1,A2, … ,Ak.Bước 2: Nếu:A1 có n1 cách khác nhau.A2 có n2 cách khác nhau.…….Ak có nk cách khác nhau.Bước 3 ...