HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Tham khảo tài liệu hàm số nhiều biến số, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ TrÇn V¨n Minh_NguyÔn cao nh¹c (§ång chñ biªn) NguyÔn huy hoµng_nguyÔn v¨n viÖt nguyÔn minh khoa_ §Æng thÞ Mai PhÐp tÝnh Gi¶I tÝch hµm nhiÒu biÕn sè thùc Gi¸o tr×nh to¸n A3 Dµnh cho c¸n bé, sinh viªn c¸c ngµnh kinh tÕ kü thuËt Nhµ XuÊt B¶n Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi 2004 Ch¬ng 1Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 1 Hµm sè nhiÒu biÕn sè1.1 TËp hîp trong Rn XÐt kh«ng gian ¥clit n chiÒu Rn (n>1): Rn={x=(x1,x2,…,xn): xi∈R, i= 1, n }Nh vËy mçi phÇn tö x=(x1,x2,…,xn) lµ mét bé cã s¾p thø tù gåm n sè thùc. Ta còng gäi mçiphÇn tö cña Rn lµ mét ®iÓm trong Rn vµ ký hiÖu chóng b»ng c¸c ch÷ c¸i in hoa: A, B,… Trong tµi liÖu nµy chóng ta xÐt víi n=2 hoÆc n=3. Mäi kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ thu ® îc ®Òumë réng ®îc cho n h÷u h¹n tuú ý. a. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm: Gi¶ sö M(x1,x2,…,xn), N(y1,y2,…,yn) lµ hai ®iÓm trong Rn, tagäi kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm ®ã, ký hiÖu d(M,N), lµ sè ®îc x¸c ®Þnh bëi: n d(M,N)= ∑ (x i =1 i − yi ) 2 (1) Tõ (1) dÔ dµng chøng minh ®îc bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c, víi ba ®iÓm A, B, C bÊt kú trongRn lu«n cã: d(A,C)≤ d(A,B)+d(B,C) b. L©n cËn: Cho M0∈Rn vµ ε>0 ®ñ bÐ, ta gäi ε_l©n cËn cña M0 lµ tËp hîp, ký hiÖu uε(M0),x¸c ®Þnh bëi: uε(M0)={M∈Rn:d(M0,M)< ε} Ngêi ta gäi mäi tËp hîp chøa mét ε_l©n cËn nµo ®ã cña M0 lµ mét l©n cËn cña M0. c. TËp më: Cho E lµ mét tËp trong Rn. - §iÓm M∈E ®îc gäi lµ ®iÓm trong cña E nÕu tån t¹i mét ε_l©n cËn nµo ®ã cña M n»mtrong E. - TËp E ®îc gäi lµ më nÕu mäi ®iÓm cña E ®Òu lµ ®iÓm trong. - Cho ®iÓm M0 vµ sè r>0, khi ®ã tËp E x¸c ®Þnh bëi: E={M: d(M0,M) H×nh 1 Trong h×nh 1, miÒn vµnh khuyªn lµ miÒn liªn th«ng, nhng cã hai biªn; miÒn trong cñaLemnixcat cã mét biªn nhng kh«ng liªn th«ng.1.2 Hµm nhiÒu biÕn sè1. §Þnh nghÜa: Cho D lµ mét tËp con trong Rn. Ta gäi ¸nh x¹: f: D→Rcho øng mçi x=(x1,x2,…,xn)∈D víi mét sè thùc x¸c ®Þnh u lµ mét hµm sè n biÕn x¸c ®Þnhtrªn D vµ ký hiÖu: u=f(x1,x2,…,xn) NÕu xem (x1,x2,…,xn) lµ to¹ ®é cña ®iÓm M∈Rn th× ta còng cã thÓ viÕt u=f(M). NÕu n=2 hay n=3 ta thêng dïng ký hiÖu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z). Ta gäi D lµ miÒn x¸c ®Þnh vµ f(D) lµ miÒn gi¸ trÞ cña hµm f. NÕu hµm hai biÕn cho bëi: z=f(x,y)trong ®ã f(x,y) lµ mét biÓu thøc cña x,y th× ta nãi hµm hai biÕn cho díi d¹ng hiÖn. NÕu tõ biÓu thøc: ϕ(x,y,z)=0víi mçi (x,y)∈D ta x¸c ®Þnh ®îc z t¬ng øng ®Ó biÓu thøc trªn tho¶ m·n th× ta nãi biÓu thøcx¸c ®Þnh mét hµm Èn hai biÕn z=z(x,y). Trong c¸c biÓu thøc trªn x,y lµ c¸c biÕn ®éc lËp, cßn z lµ biÕn phô thuéc. NÕu tõ hÖ thøc:  F ( x, y , z , u , v ) = 0  G ( x, y, z , u , v ) = 0víi mçi (x,y,z)∈Ω ta x¸c ®Þnh ®îc u, v t¬ng øng ®Ó hÖ thøc tho¶ m·n th× ta nãi hÖ thøc x¸c®Þnh mét hÖ hai hµm Èn ba biÕn: u=u(x,y,z) v=v(x,y,z)2. MiÒn x¸c ®Þnh vµ ý nghÜa h×nh häc cña hµm hai biÕn NÕu hµm z cho bëi biÓu thøc z=f(x,y) th× miÒn x¸c ®Þnh cña z lµ tËp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓmM(x,y)∈R2 sao cho biÓu thøc f(x,y) cã nghÜa, nã thêng lµ mét tËp liªn th«ng trong R2. NÕu z=f(x,y) cã miÒn x¸c ®Þnh D th× tËp hîp: Ω={(x,y,z): x,y∈D}⊂R3®îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm z=f(x,y). Khi (x,y) ch¹y trªn D, th× ®iÓm M(x,y,z) vÏ lªn mét mÆttrong kh«ng gian, nh vËy Ω lµ mét mÆt trong kh«ng gian mµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña nãtrªn mÆt ph¼ng Oxy lµ miÒn x¸c ®Þnh D. VÝ dô 1.1: T×m vµ biÓu diÔn h×nh häc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè: x a. z = arcsin + xy 2 MiÒn x¸c ®Þnh ®îc x¸c ®Þnh tõ bÊt ®¼ng thøc kÐp:  x − 1 ≤ ≤ 1  2  xy ≥ 0 VËy ta ®îc:Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 3 − 2 ≤ x ≤ 2 − 2 ≤ x ≤ 2  hoÆc   x ≤ 0, y ≤ 0  x ≥ 0, y ≥ 0Cã biÓu diÔn h×nh häc lµ h×nh 2a. x2 y2 z2 b. u= 1 − 2 − 2 − 2 a b c 2 x y2 z2 MiÒn x¸c ®Þnh 2 + 2 + 2 ≤ 1 , ®ã lµ mét elipx«it, h×nh 2b. a b c H×nh 2a H×nh 2b VÝ dô 1.2: BiÓu diÔn h×nh häc hµm sè: a. x2+y2=3-z lµ Paraboloit cã ®Ønh (0,0,3), h×nh 3a. b. x2+y2=(6-z)2 lµ nãn cã ®Ønh (0,0,6), h×nh 3b. c. x=y2 lµ mÆt trô ®øng cã ®êng sinh lµ x=y2 vµ ®êng chuÈn lµ Oz, h×nh 3c. H×nh 3a H×nh 3b H×nh 3c1.3 Giíi h¹n vµ liªn tôc1. Giíi h ...