Hàm tử địa phương hóa

Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, S ⊆ R. Khi đó S được.gọi là tập nhân đóng của vành R nếu 1 ∈ S và ∀a,b ∈ S thì ab ∈ S..Ví dụ. a) Cho R là một miền nguyên, R* = R \ {0} thì R* là một tập nhân đóng của.vành R..b) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R, đặt S = R \ P thì S là tập nhân đóng.của vành R..1.1.2 Xây dựng môđun các thương. Cho M là R-môđun, S là một tập nhân đóng.của vành R.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hàm tử địa phương hóa HÀM TỬ ĐỊA PHƯƠNG HÓA1.1 Môđun các thương1.1.1 Tập nhân đóng. Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, S ⊆ R. Khi đó S đượcgọi là tập nhân đóng của vành R nếu 1 ∈ S và ∀a,b ∈ S thì ab ∈ S.Ví dụ. a) Cho R là một miền nguyên, R* = R \ {0} thì R* là một tập nhân đóng củavành R.b) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R, đặt S = R \ P thì S là tập nhân đóngcủa vành R.1.1.2 Xây dựng môđun các thương. Cho M là R-môđun, S là một tập nhân đóngcủa vành R. Trên tích đềcác M � = { (m, s) m �M, s � } , xét quan hệ hai ngôi ∼ : S S (m,s) ∼ (m’,s’) ⇔ ∃ t ∈ S: t(s’m – sm’) = 0khi đó quan hệ ∼ là quan hệ tương đương trên M× S.Thật vậy, với mọi (m,s) ∈ M× S có sm = sm hay sm – sm = 0, lúc đó có t ∈ Sđểt(sm – sm ) = 0 hay (m,s) ∼ (m,s) .Giả sử (m,s) ∼ (m’,s’) ⇔ ∃ t ∈ S: t(s’m – sm’) = 0 hay ∃ t ∈ S: t(sm’ - s’m) = 0hay (m’,s’) ∼ (m,s) ∀ (m,s) ,(m’,s’) ∈ M× S.Bây giờ ta giả sử (m,s) ∼ (m’,s’) và (m’,s’) ∼ (m’’,s’’), khi đó ∃ t ∈ S: t(s’m – sm’)= 0 và t(s’’m’ – s’m’’) = 0 hay ts’m = tsm’ và ts”m’ = ts’m” hay ts’mm” = tsm’m”và ts”m’m = ts’m”m hay tsm’m” = ts”m’m giản ước đẳng thức này cho m’ ta đượctsm” = ts”m hay tsm” – ts”m = 0 hay t(sm” – s”m) = 0 hay (m,s) ∼ (m’’,s’’) .Suy ra M× S được chia thành các lớp tương đương, kí hiệu (m, s) là lớp tươngđương chứa (m,s), tức là (m, s) = { (m , s ) δ M S (m , s ) : (m, s)} m Để thuận tiện ta kí hiệu thay cho (m, s) , kí hiệu S-1M là tập thương của s � m �M× S theo quan hệ tương đương ∼ , tức S M = � m �M,s �S� Khi M = R, ta có −1 � s . �r �tập hợp M −1R = � s �R,s � � S . �s r r Trên S-1R ta trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân với , S−1R : s s r r r.r r r s r + sr . = và + = s s s.s s s ss (Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện) -1-Với hai phép toán trên, S-1R trở thành một vành gọi là vành các thương của R theotập nhân đóng S. r r r r s .r + r .s r .s + r.s r .s r.s r rThật vậy, (i) ∀ , S−1R ta có + = = = + = + , vậy s s s s s.s s .s s .s s .s s sphép cộng có tính chất giao hoán. r r r � r � r r � .r + r .s � r s s ( r.s + r .s ) + r s.s (ii) ∀ , , S−1R ta có � + � + = � � + = = s s s � s s � s � s.s � s s .s.s s r.s + ( s r .s + r s.s ) s r.s � r .s r s.s � r � s + r s � r � r � s r r = +� + � +� = � +� + � = , s .s.s s .s.s � .s.s s .s.s � s � s s � s � s � s svậyphép cộng có tính chất kết hợp. 0 0 r 0.s + r.1 0 + r r r 0 r(iii) Phần tử 0 làvì + = = = , tương tự ta củng có + = . 1 1 s 1.s s s s 1 s r r r r r.r r .r r r(iv) ∀ , S−1R ta có . = = = . , vậy phép nhân có tính chất giao s s s s s.s s .s s shoán. r r r � r �r �.r �r r.r .r r ( r .r ) r � r � r r r(v) ∀ , , S−1R ta có � . � = � � = . . = = . � . � vậy phép , s s s � s �s �.s �s s.s .s s( s .s ) s � s � s s snhân có tính chất kết hợp. r r r r r r � r � s + r s � r (r s + r s ) r rr s + rr s (vi) ∀ , , S−1R ta có .� +� �= .� �= = = s s s s �s s � s � s s � s.s s s.s s rr s rr s rr rr r r r r + = + = . + . vậy phép nhân phân phối đối với phéps.s s s.s s ss ss ...