HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Tham khảo tài liệu hệ phương trình vi phân cấp 1, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0Hệ tổng ….quát Fn(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0 x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn)Hệ chính ….tắ c xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) t : biến x1, x2 , …, xn : ẩn hàm BÀI TOÁN CAUCHYTìm nghiệm hệ x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) ……………………… xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) Thỏa điều kiện x1(t0) = α1 ………….. xn(t0) = αnHệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệnghiệm có n hằng số tự do. PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước. B2: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1) hàm Vd: yx = x(t = 2y + et = ) (1) = (2) =y = y(t = −x + 3y − et ) �� −x+ 3y− et � = −2y − et + 3y− et �y= ye x �y (3)�� �� � = 2y + et x � = 2y + et x(3) � y− 3y+ 2y = −2et Tt cấp 2 hệ số hằng t 2t t � y = C 1e + C 2 e + 2te t (2) � x = − y+ 3y − e t 2t t t 2t t t =− C 1e − 2C 2e − 2(t+ 1)e + 3(C 1e + C 2e + 2t ) − e e t 2t t � x = 2C 1e + C 2 e + (4t− 3)e Vậy nghiệm hệ đã cho là: yx = 2C 1et + C 2 e2 t + (4t− 3)et = = t 2t =y = C 1e + C 2 e + 2t etHỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG X’(t) = AX(t) + F(t) xx ) � 1 (t � � 1 (t � x ) � (t � ��t � x2 ( ) x2 ) (Hệ ẩn X �) = � (t �X (t = � ) � �M � �M � hàm ) � (t � ��t � �n ) � x �n ( ) � x �1 (t � f ) A = ( ai ) : ar � � cap m t anvuong �n � (t � f ) jF(t = �2 � ) �M � � (t � Cho trước �n ) � f yx = x(t = 2y + et = ) Vd: 1 / = =y = y(t = − x + 3y − et ) �(t � x ) �0 1� �t� e X (t = � � A = � ) F(t = � � ) �y(t � ) �−1 3 � � �− t� e � � � 1 2� 1 � + sin t� t �(t � x ) ) � 4 1 � (t + � t �2 / X (t = 2 X ) � 2 � , X (t = �(t � ) y ) � � � � � 3 −2 � 0 � t − ln t� �(t � � � �e � � )� z =x = x + y + 2z + t+ sin t = 2 � � = 2x + 4y + z + t y � =z = 3y − 2z + et − ln t PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT -1 X’ = AX + F(t) X’ = AX + F(t) ⇔ X’ chéo hóa được( ⇔ ∃ P:=P AP = + P- A = PDP-1X + F(t)⇔ P-1X’ DP-1X D (chéo) ) 1F(t) Đặt Y = P-1X: ⇔ Y’ = DY + G(t)y λ�1 � �1 0 K 0 �y1 � �1 (t � � g ) =y1 (t = λ1y1 (t + g1 ( t ) ) )� � � λ K 0 �y � � (t � � =y (t = λ y (t + g (ty2 0 2 2 � �2 ) � g = 2 ) 2 2 ) 2 )� � � = �� + = =� � �..... ..................... �.... � � � ... � =..................................� � � � �� � � =yn (t = λnyn (t + gn (t ) ) )yn � � 0 K λn �yn � �n (t �� 0 � g ) = ...