Hệ thức lượng trong tam giác với phép biến đổi tuyến tính góc

Bài báo đề cập đến các vấn đề sau: 1) Sự khó khăn của người học khi gặp các bài toán lượng giác và họ thường không biết bắt đầu từ đâu vì không thấy được mối liên hệ giữa các hệ thức lượng giác đó. 2) Đưa ra dạng tổng quát của phép biến đổi tuyến tính góc từ đó giúp học sinh biết được phương pháp phân loại và tìm ra mối quan hệ giữa các hệ thức lượng giác trong tam giác. Như vậy số lượng các hệ thức lượng giác sẽ giảm đi một cách đáng kể. Đó là phương pháp biến đổi tuyến tính góc.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hệ thức lượng trong tam giác với phép biến đổi tuyến tính gócPhùng Thị Hải Yến và ĐtgTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ93(05): 87 - 90HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCVỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH GÓCPhùng Thị Hải Yến1*, Phùng Thị Oanh2, Vũ Thị Tú Loan31Trường Cao đẳng Kinh Tế - Kỹ Thuật – ĐH Thái Nguyên2Trường PT Vùng Cao Việt Bắc3Trường Đại học Nông lâm – ĐH Thái NguyênTÓM TẮTBài báo đề cập đến các vấn đề sau:1) Sự khó khăn của người học khi gặp các bài toán lượng giác và họ thường không biết bắt đầu từđâu vì không thấy được mối liên hệ giữa các hệ thức lượng giác đó.2) Đưa ra dạng tổng quát của phép biến đổi tuyến tính góc từ đó giúp học sinh biết đượcphương pháp phân loại và tìm ra mối quan hệ giữa các hệ thức lượng giác trong tam giác. Nhưvậy số lượng các hệ thức lượng giác sẽ giảm đi một cách đáng kể. Đó là phương pháp biếnđổi tuyến tính góc.3) Một số bài tâp liên quan đã được chứng minh bằng phương pháp biến đổi tuyến tính góc dạngđối xứng.Từ khóa: Hệ Thức, lượng giác, tam giác, biến đổi, tuyến tínhĐẶT VẤN ĐỀ*Những bài toán liên quan đến các hệ thứctrong tam giác thường có mặt trong các đề thihọc sinh giỏi, các đề thi đại học, cao đẳng…học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu vìkhông thấy được mối liên hệ giữa các hệ thứclượng giác. Do đó cần có các phương phápgiúp học sinh phân loại và tìm ra mối quan hệgiữa các hệ thức lượng giác trong tam giác.Một trong các phương pháp phân loại và tạora hệ thức lượng giác trong tam giác làphương pháp biến đổi tuyến tính góc. Bằngcách sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc đểtạo ra tam giác mới A1 B1C1 từ tam giácABC. Từ một hệ thức đã biết cho tam giácA1 B1C1 , ta sẽ có một hệ thức mới trong tamgiác ABC.Dạng tổng quát của phép biến đổi tuyến tínhgóc là:A1 = k11 A + k12 B + k13 C + λ1π ,B1 = k 21 A + k 22 B + k 23C + λ2π ,C1 = k 31 A + k32 B + k33C + λ3π ,A1 + B1 + C1 = π , A1 > 0 , B1 > 0 , C1 > 0.[1]*Tel: 0280 3748180, Email: Haiyend2d@gmail.comDo đó, bằng cách chọn các bộ hệ sốkij , λi ( i, j = 1, 2,3) , ta sẽ có rất nhiều phépbiến đổi tuyến tính góc. Trong bài báo này,chúng tôi đưa ra một số phép biến đổi tuyếntính góc dạng đối xứng.CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNGMệnh đề 2.1. Cho A, B, C là ba góc của tamgiác. Khi ấyA + ( n − 1) BB + ( n − 1) CA1 =, B1 =,nnC + ( n − 1) AC1 =nvới n = 2,3,... cũng là ba góc của một tamgiác.Chứng minh: Thật vậy, vì A, B, C là ba góccủa tam giác nên 0 < A, B, C < π vàA + B + C = π . Suy raA + ( n − 1) B π + ( n − 1) π0 < A1 =<< π.nnTương tự, 0 < B1 , C1 < π và A1 + B1 + C1 = π .Vậy A1 , B1 , C1 là ba góc của một tam giác.Mệnh đề 2.2. Cho A, B, C là ba góc của mộttam giác. Khi ấy,A1 =B + ( n − 1) Cn, B1 =C + ( n − 1) An,87Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyênhttp://www.lrc-tnu.edu.vnPhùng Thị Hải Yến và ĐtgC1 =A + ( n − 1) BTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆvới n = 2,3,... cũng là bangóc của một tam giác.Đặc biệt khi n = 2 ta có hệ quả sau đây.Hệ quả 2.1. Cho A, B, C là ba góc của tamB+CC+AA1 =, B1 =,giác. Khi ấy22A+ BC1 =cũng là ba góc của một tam giác.2B+C π − AChú ý 2.1.Vì A1 ==nên22B+C π − A π0 < A1 ==< và phép biến đổi222B+CC+Atuyến tính góc A1 =, B1 =,22A+ BC1 =cũng chính là phép biến đổi2π−Aπ −B, B2 =,tuyến tính góc A2 =22π −CC2 =và ∆A2 B2C2 có ba góc nhọn.2Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng với mọi tamgiác ABC ta luôn có:3cos A + cos B + cos C ≤ .[ 2](2.1)2Chứng minh: Ta có3( 2.1) ⇔ − cos A − cos B − cos C ≥ 02⇔ 3 + 2cos ( B + C ) − 2cos B − 2cos C ≥ 0⇔ 1 + sin 2 B + cos 2 B + sin 2 C + cos 2 C+2cos B cos C − 2sin B.sin C − 2cos B − 2cos C ≥ 0⇔ ( sin B − sin C ) + (1 − cos B − cos C ) ≥ 0 ,luôn đúng.Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng với mọi tamgiác ABC ta luôn cóABC 3sin + sin + sin ≤ .(2.2)222 2Chứng minh:Cách 1: Sử dụng phép biến đổi lượng giácABC 3sin + sin + sin ≤222 23ABC⇔ − sin − sin − sin ≥ 022222293(05): 87 - 9022BC BC⇔  cos − cos  + 1 − sin − sin  ≥ 022 22luôn đúng.Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tuyến tính gócπ−Aπ −Bπ −CĐặt A1 =, B1 =, C1 =. Khi222ấy A1 , B1 , C1 là ba góc nhọn của một tam giác.Do đó hệ thức (2.1) đúng cho tam giácA1 B1C1 .ABVì cos A1 = sin , cos B1 = sin ,22Ccos C1 = sinnên ta có2ABC3sin + sin + sin = cos A1 + cos B1 + cos C1 ≤ .2222Chú ý 2.2. Nếu A, B, C là ba góc nhọn củamột tam giác thì A2 = π − 2 A, B2 = π − 2 B,C2 = π − 2C cũng là ba góc của tam giác.Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng bất đẳng thứcsau đây đúng với mọi tam giác ABC :3cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ −(2.3)2Chứng minh:Cách 1: Sử dụng phép biến đổi lượng giácVới mọi tam giác ABC ta có:3cos 2 A + cos 2 B + cos 2C +23= 2cos ( A + B ) cos ( A − B ) + 2cos 2 C − 1 +212= 2cos C − 2cos C cos ( A − B ) +2()1 ...